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IB 数学 AA：数列与级数（挑战 10 题）
IB 数学 AA：数列与级数（挑战 10 题）
挑战十题：Σ 符号运算、循环小数化分数、由和反求公差、二次方程取舍、三数成等差的设法、期初年金的计算与收敛条件的判断。
练习重点 每题先写公式与已知量，二次方程得出的两个根要按题目条件取舍。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 30 |
| 难度分布 | 基础 4 · 进阶 3 · 挑战 2 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：IB 数学 AA：数列与级数 |
| 适用年级 | IB 数学 AA（HL） |
02 题目（10 题）
- 基础求 Σ (3k + 1)，k 由 1 到 20。
- 基础求 0.4 + 0.04 + 0.004 + … 之和（以分数表示）。
- 基础等差数列首项 4，首 20 项之和为 650，求公差。
- 基础判断 1 + 1/3 + 1/9 + … 是否收敛，并求和。
- 进阶等比数列首项 4、首 3 项之和为 52、公比大于 1，求公比。
- 进阶三个数成等差，和为 24，积为 384，求这三个数。
- 进阶每年年头存入 $3 000，年利率 3%，第 5 次年尾的总值是多少？（取至小数后两位）
- 挑战等差数列首项 5、公差 3，首 n 项之和首次超过 500 时，n 是多少？
- 挑战等比数列首项 6，无穷和为 9，求前 3 项之和，并与无穷和比较。
- 错题重练有学生对 r = 3/2 的等比级数照用 S∞ = a ÷ (1 − r)，得出负数并说“无穷和是负的”。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | Σ3k = 3 × (20 × 21 ÷ 2) = 630，加上 Σ1 = 20，总和 650。 | 先把常数与 k 的项分开，Σk 由 1 到 n 为 n(n + 1)/2。 |
| 2 | a = 0.4、r = 0.1，S∞ = 0.4 ÷ 0.9 = 4/9。 | 无限循环小数可以用无穷等比级数表示，0.444… 正是 4/9。 |
| 3 | 650 = 20/2 × [8 + 19d] = 10 × (8 + 19d)，得 65 = 8 + 19d，d = 3。 | 反解 d 时先把 n/2 移到左边，避免展开时出错。 |
| 4 | r = 1/3，|r| < 1 故收敛；S∞ = 1 ÷ (1 − 1/3) = 3/2。 | 是否收敛只看 |r|，与首项大小无关。 |
| 5 | 4(1 + r + r²) = 52，即 r² + r − 12 = 0，(r − 3)(r + 4) = 0；因 r > 1，故 r = 3。 | 二次方程有两个根，要按题目条件取舍，不能两个都写。 |
| 6 | 设三数为 8 − d、8、8 + d（中间项 = 24 ÷ 3 = 8）；积 8(64 − d²) = 384，得 d² = 16，d = 4，三数为 4、8、12。 | 设 a − d、a、a + d 可令和与积同时简化。 |
| 7 | 3 000 × 1.03 × (1.03⁵ − 1) ÷ 0.03 = 3 000 × 5.468410 ≈ $16 405.23。 | 年头存入的每笔都比年尾存入多滚一年息，所以要整体乘 1.03。 |
| 8 | Sₙ = n(3n + 7) ÷ 2；S₁₇ = 493、S₁₈ = 549，故 n = 18。 | 要同时核对前后两个 n 值，只解不等式再四舍五入会出错。 |
| 9 | r = 1 − 6/9 = 1/3；S₃ = 6(1 − 1/27) ÷ (1 − 1/3) = 26/3 ≈ 8.67，比 9 少 1/3，余下的正是无穷余项。 | 首项为正且 0 < r < 1 时，前 n 项和永远小于无穷和。 |
| 10 | |r| > 1 时级数发散，根本没有无穷和，公式不适用；代数得出的负数没有意义。 | 公式的三个条件是：等比、|r| < 1、首项有限，缺一不可。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。