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中三数学：圆的性质与圆周角（进阶 10 题）
中三数学：圆的性质与圆周角（进阶 10 题）
进阶卷加入圆内接四边形（对角互补、外角等于内对角）、内错弓形定理、切线四边形 OAPB 的 360° 计算、弦心距与勾股定理，以及用代数式反求未知数。每题附答案与一句解说。
快速答案 答案依序：65°、95°、72°、64°、20、63°、130°、45°、16 cm、12 cm。圆内接四边形对角相加必为 180°，是最易漏的一步。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 题 |
| 建议时间 | 约 35 分钟 |
| 难度分布 | 进阶 10 |
| 对应章节 | 所属章节：中三数学：圆的性质、圆周角与切线 |
| 适用年级 | 中三 |
02 题目（10 题）
- 进阶O 为圆心，∠AOB = 130°，C 在优弧 AB 上。求 ∠ACB。
- 进阶ABCD 是圆内接四边形，∠A = 85°，求 ∠C。
- 进阶圆内接四边形 ABCD，延长 BC 至 E，外角 ∠DCE = 72°。求内对角 ∠A。
- 进阶切线 PT 切圆于 T，弦 TA 与切线的夹角 ∠PTA = 64°。求弦 TA 在另一弓形所对的圆周角。
- 进阶同一段弧所对的圆心角是 (3x − 20)°，圆周角是 x°。求 x。
- 进阶AB 是圆的直径，C 在圆周上，∠ABC = 27°。求 ∠BAC。
- 进阶PA 与 PB 是从外点 P 引出的两条切线，∠APB = 50°。求 ∠AOB（O 为圆心）。
- 进阶圆内接四边形 ABCD 中，∠B = 3∠D。求 ∠D。
- 进阶圆的半径是 10 cm，一条弦 AB 与圆心的距离是 6 cm。求 AB 的长度。
- 进阶从圆外一点 P 到圆心 O 的距离是 13 cm，圆半径 5 cm，PA 是切线（A 为切点）。求 PA。
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 65° | C 在优弧上，所对的是劣弧 AB，圆周角是圆心角的一半：130° ÷ 2 = 65°。 |
| 2 | 95° | 圆内接四边形对角互补：∠C = 180° − 85° = 95°。 |
| 3 | 72° | 圆内接四边形的外角等于内对角，所以 ∠A = ∠DCE = 72°。 |
| 4 | 64° | 切线与弦的夹角等于该弦在另一弓形所对的圆周角（内错弓形定理），所以是 64°。 |
| 5 | 20 | 圆心角等于圆周角的两倍：3x − 20 = 2x，所以 x = 20。 |
| 6 | 63° | ∠ACB = 90°，所以 ∠BAC = 180° − 90° − 27° = 63°。 |
| 7 | 130° | 四边形 OAPB 中 ∠OAP = ∠OBP = 90°，所以 ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°。 |
| 8 | 45° | 对角互补：3∠D + ∠D = 180°，所以 ∠D = 45°（∠B = 135°）。 |
| 9 | 16 cm | 圆心到弦的垂线平分弦，半弦 = √(10² − 6²) = 8，所以 AB = 16 cm。 |
| 10 | 12 cm | ∠OAP = 90°，用勾股定理：PA = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。