中三數學｜圓的基本性質備課指引（導師用）｜圓周角取半、對角互補與切線計算

2026-11-06

學生一見圓形圖就開始猜角度，因為他沒有養成「先認哪兩隻角對著同一條弧」的習慣。圓的題目來來去去只有幾條定理，難的是揀對那一條。

本堂目標　學生能夠：① 由圓心角算出同一條弧的圓周角（圓心角是圓周角的兩倍），並指出半圓上的圓周角是 90 度；② 用同弓形圓周角相等與圓內接四邊形對角互補（和是 180 度）補出未知角；③ 用切線垂直半徑與外點兩切線等長算出切線長（半徑 5、斜邊 13 得 12），並用 θ 除 360 算弧長與扇形面積。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
角的分類	圓周角與圓心角分別以哪裡為頂點	圓心角頂點在圓心，圓周角頂點在圓上
等腰三角形	兩邊等長則哪兩個角相等	底角相等，因為半徑全部等長
畢氏定理	3、4、5 與 5、12、13 的關係	斜邊平方等於兩邊平方和

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	同弧兩角	畫一條弧配一個圓心角與一個圓周角，叫學生估倍數	量角器量出兩個角並寫出比值
8–20 分	圓心角是兩倍	由等腰三角形證一次，再做 130 度得 65 度	自己算兩題並說出理由
20–32 分	同弓形與內接四邊形	示範同弓形圓周角相等，再由圓周角推對角和 180 度	補出 105 度的對角是 75 度
32–44 分	切線三條性質	畫半徑到切點講垂直，再由外點拉兩條切線講等長	用 5 與 13 算出切線長 12
44–56 分	弧長與扇形面積	用 θ 除 360 佔全圓比例，算 72 度、半徑 10 的弧長與面積	自己算一次並核對單位
56–60 分	離場檢查	三題收回即批，錯的標明跌在哪一幕	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：圓周角是圓心角一半

同一條弧，圓心角是圓周角的兩倍；反過來，圓周角是圓心角的一半。理由很簡單：圓心與圓周兩點連起來是兩個等腰三角形，外角等於兩個內角和。
所以圓心角 130 度，同一條弧的圓周角就是 65 度。若那條弧是半圓，圓心角 180 度，圓周角就是 90 度——這就是「半圓上的圓周角是直角」。
教的時候一定要學生用顏色筆畫出「同一條弧」，因為揀錯弧是之後所有錯的根源。

要學生複述：同一條弧，圓周角是圓心角的一半。

第二幕：同弓形與內接四邊形

在同一個弓形（同一邊）上的圓周角全部相等；在另一邊的則互補，相加 180 度。
圓內接四邊形就是四個頂點都在圓上的四邊形，它的對角和一定是 180 度：因為一對對角各自對著互補的兩條弧。所以見到 105 度，對角就是 75 度。
最常見的錯是把內接四邊形當平行四邊形，寫「對角相等」。要學生大聲講一次：對角是相加 180，不是相等。

要學生做：內接四邊形其中一隻角 105 度，寫出對角並講理由。

第三幕：切線與弧長

切線與半徑在切點成直角，所以半徑、切線、圓心到外點三段構成直角三角形：外點距離 13、半徑 5，切線長就是 12。
由同一外點拉兩條切線，兩條長度相等，而且與圓心連線成兩個全等三角形——所以那條連線也平分兩切線的夾角。
弧長與扇形面積只是比例：θ 除 360 乘全圓。半徑 10、72 度，弧長是 2πr 乘 0.2 約 12.57 cm，面積是 πr² 乘 0.2 約 62.83 cm²。

要學生講：為甚麼切線長可以用畢氏定理算（因為切線垂直半徑成直角）。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
求角題（圓周角）	圓心角 130 度，求同弧圓周角	先認同一條弧，再取一半	65 度
內接四邊形	一隻角 105 度，求對角	對角和 180 度	75 度
切線長	外點距離 13、半徑 5	半徑平方加切線平方等於斜邊平方	切線長 12
弧長與扇形面積	半徑 10、圓心角 72 度	θ 除 360 乘 2πr 或 πr²	弧長約 12.57 cm、面積約 62.83 cm²

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：圓周角最大只會接近 180 度，算到 200 度一定錯；圓心角永遠是同一條弧圓周角的兩倍，兩者不可能相等（弧是 0 度除外）；內接四邊形兩個對角相加必須是 180 度，若算出 200 度就代表認錯角；切線長一定要小於外點到圓心距離（12 小於 13），大過就代表把斜邊當切線。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
圓心角 130 度	求同一條弧的圓周角	看學生有沒有先圈出那條弧
內接四邊形 105 度	求對角並講理由	看是否講「和是 180」而不是「相等」
切線長 13 與 5	求切線長	看是否畫出直角三角形再用畢氏定理

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把圓周角乘二	「圓周角等於圓心角乘二」	「反過來。站在圓心看到的角度較大，所以在圓上那隻角是圓心的一半。」
認錯弧	用另一邊的圓心角去算圓周角	「你用的圓心角對著的是右邊那條弧，但這隻角對著左邊。用顏色筆圈同一條弧先。」
內接四邊形對角相等	「105 度，所以對角都是 105 度」	「內接四邊形對角是相加 180 度，不是相等。105 的對角是 75。」
把斜邊當切線	「切線長是 13」	「13 是外點到圓心的距離，切線一定短過它。你先畫半徑，直角在切點。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　全科章節一覽
備課指引總索引　其他科目的同類章節
本章重做　用半徑 8、外點距離 17 重算切線長，並補一個內接四邊形

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
圓心角 130 度的圓周角	65 度	答 260 度＝回到第一幕
內接四邊形對角和	180 度	答「相等」＝重講第二幕
半徑 5、外點 13 的切線長	12	答 13 ＝回到第三幕

09　導師常問

圓的定理要背幾條？

本章四條就夠：圓周角取半、同弓形相等、對角互補、切線垂直半徑，其餘都是由這四條推出來。

證明題要寫到幾詳細？

每個結論都要寫出用了哪條定理，例如「同弓形圓周角相等」，只寫答案不計分。

弧長要否用 π 的近似值？

題目通常要求保留 π 或取 3.14，答案要寫單位；半徑 10、72 度就是約 12.57 cm。

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