DSE 数学｜函数与图像备课指引（导师用）

DSE 数学｜函数与图像备课指引（导师用）｜先找顶点与截距再画

2026-11-03

学生画二次函数图像，多数由 x 等于负三开始逐点代数，代到十几点才发现图形左右不对称。这一堂把次序倒过来：先算对称轴与顶点，再算两个截距，最后只补两点。用 12 题、30 分、45 分钟这组真数字练习时间分配。

本堂目标　学生能够：① 由 y 等于 x 平方减 6x 加 5 算出对称轴 x 等于 3、顶点 (3, -4)、与 x 轴交于 1 与 5；② 讲出画图四步（对称轴、顶点、截距、补点）；③ 由图反读出式中的 a、b、c 正负；④ 用 12 题、30 分、45 分钟算出每题 3.75 分钟、2.5 分，并在 5 分钟内完成离场检查。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
配方法	x 平方减 6x 要补几多才成完全平方？	补 9，变成 (x 减 3) 平方减 9
判别式	b 平方减 4ac 等于 16 代表有几个实根？	两个，因为大于零
截距	图形与 y 轴相交时 x 等于几？	x 等于 0，交点是 (0, c)
时间分配	30 分题目有 45 分钟，即每分钟要拿几分？	约 0.67 分

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	画图对比	叫学生由 x 等于负三逐点代，画到一半停手	发现左右不对称
10–22 分	四步画图	对称轴、顶点、截距、补两点	自己算出顶点 (3, -4)
22–34 分	由图读式	给三个图判断 a、c 正负	讲出判断依据
34–44 分	时间算术	12 题、30 分、45 分钟	算出 3.75 分钟一题
44–54 分	独立练习	三题限时 10 分钟	对答案并标错因
54–60 分	离场检查	四题口头答，不看笔记	全对才算过关

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先算顶点，不要逐点代数

y 等于 x 平方减 6x 加 5，对称轴是 x 等于负 b 除以 2a，即 6 除以 2 等于 3；把 3 代回去得 9 减 18 加 5 等于负 4，所以顶点是 (3, -4)。有了顶点与对称轴，左右两边是镜像，只需再算两三个点就够。逐点代数画二十点，题目给的分数不会多一分，时间却肯定不够。

要学生讲出对称轴几多，以及为什么不用逐点代。

第二幕：截距是最便宜的两个点

与 y 轴的交点直接把 x 等于 0 代入，得 (0, 5)。与 x 轴的交点令 y 等于 0，判别式 36 减 20 等于 16，根是 (6 加减 4) 除以 2，即 1 与 5。这三点加顶点，四点已经定出整条抛物线的骨架。要学生每次画图先写这四个座标在题目旁，再动手。

要学生口算判别式，并讲出两个根。

第三幕：反过来由图读式更快得分

图开口向上代表 a 大于零；与 y 轴交于正数代表 c 大于零；对称轴在右边代表 b 与 a 异号。三条规则让学生三十秒答完一题选择题，不必代数。教的时候给三张图，要求只写 a、b、c 的正负与一句理由，先练判断再练计算。

要学生讲出开口向下时 a 的正负，以及对称轴在左边时 b 的正负。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
画图	给 y 等于 ax 平方加 bx 加 c	① 对称轴 ② 顶点 ③ 截距 ④ 补两点	四点座标齐全
求顶点	求最大值或最小值	① 配方法 ② 或负 b 除以 2a ③ 代回	写出座标而非只写数值
由图读式	三个图判断系数正负	① 开口 ② y 截距 ③ 对称轴位置	每项附一句理由
应用题	利润或抛体最高点	① 设式 ② 找顶点 ③ 答单位	答案带单位与一句解释

合理性检查（一定要教）：数量级检查：45 除 12 等于 3.75 分钟一题，若算到 0.375 就是除反了；30 除 45 约 0.67 分每分钟，若写 6.7 就是小数点错位。顶点检验：对称轴 3 在中间，两个根 1 与 5 的中点正是 3，若中点对不上就是判别式或公式抄错。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
45 分钟做 12 题，每题几分钟	3.75 分钟	有无除反
30 分 45 分钟，每分钟几分	0.67 分	有无小数点错位
y 等于 x 平方减 6x 加 5 的顶点	(3, -4)	有无只写 y 值

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
逐点代数画图	“我由负三代到正三，画了十三点。”	“十三点都没有告诉你图形几时转向。先算对称轴 x 等于 3，再算顶点，两点就定了骨架。”
顶点只写 y 值	“顶点系负 4。”	“顶点系一个座标，要写 (3, -4)；只写负 4 即系话你不知它在哪个 x。”
判别式大于零都话无解	“计到 16，所以无实根。”	“16 大于零，系两个相异实根；无实根系细过零，呢两个情况不可以掉转。”
由图读式不看对称轴	“开口向上就系 a 大于零，b 都一定大于零。”	“b 要看对称轴：轴在右边，b 同 a 异号，所以 b 系负。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　先重温二次函数，再做练习第 1、2 题
二次方程与判别式　练习第 3 题要先用判别式判断根的数目
图像变换　练习第 4、5 题比较平移后的顶点位置

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
45 分钟 12 题，每题几分钟	3.75 分钟	错：除反方向
30 分 45 分钟，每分钟几分	0.67 分	错：小数点错位
顶点座标写法	(3, -4)	错：只写 y 值
画图第一步	算对称轴	错：即刻逐点代数

09　导师常问

学生坚持逐点代数，怎样说服？

用同一题对比：逐点代数十三点用四分钟，四步法一分钟且不会左右不对称。让他两次都做，自己比较时间。

配方法一定要学吗？

要，因为题目有时不给 b 与 c 的数值，只给代数式；这时只有配方法与公式两条路，公式在 a 不是 1 时更易出错。

图像题为何常失分？

多数不是不懂，是座标写漏负号或漏写括号；要求每次写座标都写成括号加逗号，错一半自然消失。

立即免费找导师导师登记 →

本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。