中四數學｜圖像變換備課指引（導師用）｜平移、伸縮、反射與頂點追蹤

2026-11-01

學生把 y = f(x − 3) 當成向左移三格；這一堂用「輸入慢了就要走快些」的講法，把左右平移的方向一次講清。

本堂目標　學生能夠：① 講出 y = f(x) + k、y = f(x − h)、y = af(x)、y = f(bx)、y = −f(x) 各自怎樣改圖；② 追蹤頂點與根，由 f(x) 的頂點直接寫出變換後的頂點；③ 分辨「乘在外面」與「乘在裡面」的分別，並解釋為何左右平移方向與直覺相反。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
二次函數	配方找頂點	頂點 (1, -1)
函數記法	f(x) 是輸入輸出的機器	f(2) 代入 x = 2
解方程	因式分解求根	根 0 與 2

02　課堂流程（50 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	基準圖	y = x² − 2x，頂點 (1, −1)	根 0、2
8–18 分	加減：上下平移	f(x) + 3	頂點 (1, 2)
18–30 分	加減在括號內：左右平移	f(x − 3)	頂點 (4, -1)
30–40 分	乘外面 vs 乘裡面	2f(x) 與 f(2x)	頂點 (0.5, -1)
40–46 分	負號：反射	−f(x) + 3	頂點 (1, 4)
46–50 分	離場檢查	三題即場判	獨立作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：基準圖：先固定三個參照點

y = f(x) = x² − 2x = (x − 1)² − 1，頂點 (1, -1)，開口向上，與 x 軸交於 0 與 2，y 截距 0。
教變換前一定要學生把這三個參照點寫在紙上（頂點、兩個根），之後每做一個變換就只追這三點，不要每次重新畫整條曲線。這個習慣能把變換由「畫圖」變成「追點」，快十倍而且不易錯。順便講：形狀不變的變換（平移、反射）只需追頂點；涉及伸縮時，開口闊窄也要講。

要學生做：把 f(x) 配方，寫出頂點、根、y 截距三個數。

第二幕：平移：加在外面與加在裡面的分別

加在外面：y = f(x) + k，輸出加 k，所以整條圖向上移 k。例如 f(x) + 3 的頂點是 (1, 2)。加在裡面：y = f(x − 3)，要令括號內等於原本的輸入，x 就要大 3，所以圖向右移 3，頂點由 (1, −1) 移到 (4, -1)，展開就是 x² − 8x + 15，根由 0、2 變成 3、5。
口訣：括號內「減」向右、加向左，與直覺相反。可以這樣講：機器遲三秒才反應，成品就要遲三秒出現。要學生分清：外面的加減改 y，裡面的加減改 x，而且方向相反。常見錯誤是把 f(x − 3) 當成左移，然後又用「左加右減」的舊口訣自我混亂。

要學生做：寫出 f(x + 2) 的頂點與根，並講出它與 f(x − 3) 的方向分別。

第三幕：伸縮與反射：乘在外面改高度，乘在裡面改闊窄

縱向：y = 2f(x)，所有 y 值乘 2，頂點 y 由 −1 變 -2，根不變（因為 y = 0 乘 2 仍然是 0）。橫向：y = f(2x)，x 要減半才得出同一個輸出，所以圖向橫壓縮一半，頂點 x 由 1 變 0.5，展開是 4x² − 4x，根變成 0 與 1。
反射：y = −f(x) 上下反轉，開口向下；y = f(−x) 左右反轉；兩者一起做就是繞原點轉 180°。組合例子：y = −f(x) + 3，先反轉再上移 3，頂點 (1, 4)，根 -1 與 3。次序很重要：先做括號內的，再做外面的乘，最後做外面的加。要學生習慣寫「步驟 1、2、3」，不要一次跳完。

要學生做：由 f(x) 出發，逐步寫出 y = −f(x) + 3 的頂點與根，並畫草圖。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
上下平移	f(x) + 3	y 值加 3，形狀不變	頂點 (1, 2)
左右平移	f(x − 3)	括號內減 → 向右	頂點 (4, -1)
縱向伸縮	2f(x)	y 乘 2，根不變	頂點 (1, -2)
橫向伸縮	f(2x)	x 減半	頂點 (0.5, -1)

合理性檢查（一定要教）：原圖頂點 (1, -1)，向上移 3 之後 y 應該是 2，若學生答成 x 變 4 就是把方向搞反。橫向壓縮之後頂點 x 只會變細（0.5），若變大就代表當成拉伸。反射後開口向下，頂點 y 應為 4，比原本高，因為先反轉再上移。所有答案都要符合「根是否仍在 x 軸上」這個常識檢查。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
f(x) 頂點 (2, −4)，y = f(x) + 5 的頂點？	(2, 1)	只改 y
y = f(x + 2) 相對 f(x) 怎樣移？	向左 2 格	括號內加 → 向左
f(x) 根為 1 與 4，y = 3f(x) 的根？	仍然是 1 與 4	y = 0 乘 3 仍是 0

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
f(x − 3) 向左移	把加減方向搞反	「括號內減三，代表輸入遲咗三，圖就要向右走三格。」
2f(x) 與 f(2x) 混淆	以為兩者都是「拉高兩倍」	「乘外面改高度，乘裡面改闊窄，一個縱一個橫。」
伸縮改變根	寫「2f(x) 的根變成兩倍」	「根係 y = 0 嘅位置，零乘二仍然是零，所以根唔變。」
變換次序亂做	先加再乘，答案差好遠	「先括號內、再外面乘、最後外面加，次序唔可以調。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引（二次方程、對數、三角、概率）　先做二次方程再做圖像變換
中學備課指引總覽　全科索引

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
y = f(x − 4) 向哪邊移？	向右 4 格	錯＝重講第二幕
f(3x) 對圖有甚麼影響？	橫向壓縮成三分之一	錯＝重講第三幕
2f(x) 的根會否改變？	不會	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

這一章適合哪個年級？

中四，DSE 數學「函數與圖像」單元；中五重溫二次函數時也用得上。

要記幾多條規則？

五條：外面加減上下移、裡面加減左右移、外面乘縱伸縮、裡面乘橫伸縮、負號反射。

有無配套練習？

家課欄連到數學章節索引，可配二次方程與對數章節順序排。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。