DSE 數學｜二次方程與判別式備課指引（導師用）｜Δ＝16、根 1 與 5、k＝±6 三條界線

2026-11-03

學生識用公式，但一見「求 k 的範圍」就停手，因為他們未把判別式當成開關。這一堂用 Δ＝16 與 k＝±6 兩個數字，把三種情況變成可背可用的判斷。

本堂目標　學生能夠：① 用因式分解、配方法與公式三種方法解 x² − 6x + 5 ＝ 0，講出三法各自的適用時機；② 由 Δ ＝ b² − 4ac 判斷兩相異實根、重根、無實根，並反過來求 k 的範圍；③ 用 α + β 與 αβ 檢查答案，並用「周界 20、面積 21」的應用題示範建模。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
因式分解	x² − 6x + 5 可分解成什麼	(x − 1)(x − 5)
完全平方	(x − 3)² 展開是什麼	x² − 6x + 9
負數開方	√(−4) 在實數中有意義嗎	沒有，所以無實根

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	三種解法	因式分解、配方法、公式	同一題三法各做一次
10–22 分	判別式	Δ ＝ b² − 4ac，三種情況	Δ＝16 → 兩相異實根
22–32 分	求 k	令 Δ ＝ 0 解 k	k² ＝ 36 → k ＝ ±6
32–42 分	根的和積	α + β ＝ −b/a、αβ ＝ c/a	用 6 與 5 驗算
42–54 分	應用題	設未知數、建方程、捨不合理解	周界 20、面積 21 → 3 與 7
54–60 分	離場檢查	三題即場作答	Δ、k、根三項全中

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：三種解法，同一題走三次

寫 x² − 6x + 5 ＝ 0。因式分解：(x − 1)(x − 5) ＝ 0，得 1 與 5。
配方法：x² − 6x + 5 ＝ (x − 3)² − 4 ＝ 0，所以 (x − 3)² ＝ 4，x − 3 ＝ ±2，同樣得 1 與 5；順帶指出頂點 (3, −4) 與最小值 −4。
公式：Δ ＝ (−6)² − 4×1×5 ＝ 36 − 20 ＝ 16，√16 ＝ 4，x ＝ (6 ± 4) ÷ 2，得 5 與 1。
重點不是邊個快，而是：因式分解快但要看得出，配方揭示圖像，公式永遠有效。

三法答案必須一致，否則重做。

第二幕：第二幕：判別式是一個開關

Δ ＞ 0：兩個相異實根（拋物線與 x 軸交兩點）；Δ ＝ 0：一個重根（相切）；Δ ＜ 0：無實根（不相交）。
反向題：x² + kx + 9 ＝ 0 有重根，求 k。令 Δ ＝ k² − 4×1×9 ＝ 0，k² ＝ 36，k ＝ 6 或 −6。要學生寫齊兩個答案，很多只寫 6。
再示範範圍題：x² + kx + 9 ＝ 0 有兩個相異實根 → k² − 36 ＞ 0 → k ＞ 6 或 k ＜ −6，並用數線說明為何是「或」不是「且」。

Δ 是一個開關：>0、=0、<0 三種講法。

第三幕：第三幕：根的和積與應用題

α + β ＝ −b/a ＝ 6，αβ ＝ c/a ＝ 5：解完一定回頭驗，兩秒鐘就能抓到符號錯。
應用題：長方形周界 20、面積 21，求邊長。設長為 x，闊為 10 − x，則 x(10 − x) ＝ 21，即 x² − 10x + 21 ＝ 0，Δ ＝ 100 − 84 ＝ 16，x ＝ (10 ± 4) ÷ 2 ＝ 7 或 3；兩者其實是同一組邊長，答 7 與 3。
提醒：應用題要寫單位、要檢查長度是否正數，並要答回「長同闊」。

應用題要寫單位並捨去負根。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
解方程	公式法求根	寫 a、b、c，先算 Δ，再代入	x ＝ (6 ± 4) ÷ 2
判別式判斷	判斷根的性质	計 Δ，比較 0	Δ＝16 ＞ 0 → 兩相異實根
求未知數	有重根時求 k	令 Δ ＝ 0，記得 ±	k ＝ 6 或 −6
應用題	由周界面積建方程	設一個未知數，另一個用總和表示	x² − 10x + 21 ＝ 0

合理性檢查（一定要教）：Δ 計錯多數是符號：b ＝ −6 時 b² ＝ 36，不是 −36。
Δ ＝ 0 是一個根（重根），不是「沒有根」。
開方要寫 ±：k² ＝ 36 得 ±6，漏一個答案就少一半分。
應用題答案要回到情境：邊長不可為負，兩個根都要檢查。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
x² − 6x + 5 ＝ 0 的兩根	1 與 5	(x − 1)(x − 5) ＝ 0
Δ 的值	16	(−6)² − 4×1×5
x² + kx + 9 ＝ 0 有重根時的 k	6 或 −6	k² − 36 ＝ 0
周界 20、面積 21 的邊長	7 與 3	x² − 10x + 21 ＝ 0

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
開方漏 ±	只答 k ＝ 6	「平方根有正負，k² ＝ 36 係兩個答案，唔係一個。」
Δ ＝ 0 當成無解	答「沒有根」	「Δ ＝ 0 係一個根，即重根，拋物線啱啱掂到 x 軸。」
b² 符號錯	答 Δ ＝ 36 − 20 ＝ 16 但寫成 −16	「b 係負數，平方之後一定正，唔會變負。」
應用題漏捨根	答邊長 7 與 3 之後再寫 −3	「負長度唔存在，計到都要刪。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　第 1–5 題（三法解方程）
中學備課指引總覽　第 6–8 題（判別式與 k）
DSE 數學練習　第 9 題（應用題，須寫單位）

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
Δ 的值	16	答錯＝重算 b²
重根時的 k	±6	漏 ± ＝重講開方
應用題邊長	7 與 3	答錯＝回到建模三步

09　導師常問

三種解法要全部學嗎？

要。因式分解最快，配方連圖像，公式最穩，題目不同就換工具。

Δ ＜ 0 是否代表方程無解？

在實數範圍無解，但仍有複數根；DSE 只需答無實根。

為何 α + β 是 −b/a？

因為 (x − α)(x − β) ＝ x² − (α + β)x + αβ，對比係數即得。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。