DSE 數學｜立體圖形度量備課指引（導師用）｜圓錐展開圖、體積三分之一與相似比 k²／k³

2026-11-05

學生背得出公式，卻講不出斜高與高的分別，題目一給斜高就代錯。這一堂由一張展開圖開始，把曲面面積、體積與相似比串成一條線。

本堂目標　學生能夠：① 由圓錐展開圖（扇形）算出曲面面積，並講出扇形半徑等於斜高 13 而非高 12；② 用「同底同高柱體的三分之一」解釋錐體體積，算出 314.2 cm³；③ 用相似比 k 講出表面積比 k²、體積比 k³，並在 k = 3 時寫出 9 與 27。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
圓的面積與周長	半徑 5 cm 的圓，面積與周長各是多少	78.5 cm² 與 31.4 cm
畢氏定理	直角邊 5 與 12，斜邊多少	13
單位換算	1 m³ 等於多少 cm³	1,000,000

02　課堂流程（45 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–6 分	斜高 vs 高	同一圓錐畫高與斜高，問展開後哪條變成半徑	指出扇形半徑
6–18 分	展開圖求曲面面積	r = 5、l = 13，弧長 31.4，扇形角 138.5°	自己算曲面面積
18–30 分	錐體體積	倒水示範：三個圓錐裝滿一個同底同高圓柱	算出 314.2 cm³
30–40 分	相似立體	相似比 3 → 面積 ×9、體積 ×27	兩人一組講理由
40–45 分	排水法與單位	水位升 1.2 cm、瓶半徑 5 cm，石頭體積多少	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：先分清楚斜高與高

圓錐的高 12 cm 是由頂點垂直落到底心的線；斜高 13 cm 是頂點到底圓周上任何一點。剪開側面攤平，得到的扇形半徑就是斜高，不是高。
用 r = 5、h = 12 驗：5² + 12² = 25 + 144 = 169，開方得 13，與斜高一致。若題目只給 r 與 h，第一步永遠是先算斜高。

要學生做：在圖上把高畫成虛線、斜高畫成實線，並寫出兩者的長度，才准開始代公式。

第二幕：曲面面積由弧長而來

展開後的扇形弧長必須等於底圓周 31.4 cm，所以扇形角 = 弧長 ÷ 半徑 = 31.4 ÷ 13 = 2.417 弧度，即 138.5°。
扇形面積 = ½ × 弧長 × 半徑 = ½ × 31.4 × 13 = 204.2 cm²，正是 πrl。加底圓 78.5 cm²，總表面積 282.7 cm²。

要學生講：為甚麼弧長一定等於底圓周；如果不等，代表展開圖畫錯了。

第三幕：體積：三分之一是倒出來的

同底同高的圓柱體積是 942.5 cm³，用三個圓錐裝水剛剛裝滿，所以圓錐是三分之一，314.2 cm³。這個實驗要學生自己做一次，公式才不會記反。
相似立體：相似比 k = 3 的兩個圓錐，長度全乘 3，面積乘 3² = 9，體積乘 3³ = 27。理由：面積是兩個長度相乘，體積是三個長度相乘。

要學生做：把 k = 3 的面積比與體積比寫在公式旁，並用「兩個長度／三個長度」講一次。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
展開圖與曲面面積	給 r 與 h，求曲面面積或總表面積	先算斜高 l，再 πrl，需要全面積才加 πr²	斜高一定大於高
錐體與柱體體積	單一或複合立體求體積	柱體底面積 × 高，錐體再除 3	除 3 只限錐體
相似立體比例	已知相似比求面積比或體積比	面積 k²、體積 k³，反推要開方或開立方	k 是長度比，不是體積比
排水法與單位	物件入水後水位上升，求體積	上升體積 = 底面積 × 升幅；先統一單位	1 m³ = 10⁶ cm³

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：斜高 13 大於高 12，不可能相反；曲面面積 204.2 大於底圓 78.5，總表面積 282.7 是兩者之和；相似比 3 時面積 ×9、體積 ×27，符合 k² 與 k³；2500 mL 即 2500 cm³，單位換算後數值不會突然變大三個量級。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
展開圖	圓錐 r = 5 cm、h = 12 cm，求曲面面積與總表面積	先寫斜高，再代 πrl
體積	同一個圓錐的體積，答案取一位小數	底面積 × 高 ÷ 3
相似立體	兩個相似圓錐體積比 27 : 8，求表面積比	先開立方得 k，再平方
排水法	半徑 5 cm 的圓柱瓶，放入石頭後水位升 1.2 cm，求石頭體積	πr² × 升幅，取一位小數

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把高當斜高代入 πrl	直接寫 π × 5 × 12	「扇形半徑係斜高，唔係高；高喺立體裡面，展開之後已經消失。」
錐體照柱體計，忘記除 3	答 942.5 cm³	「三個圓錐先裝滿一個圓柱，你嗰個答案係三個咁多。」
相似比直接當體積比	k = 3 就答體積比 3 : 1	「長度乘 3，體積三個長度一齊乘，所以係 27。」
單位未統一就代入	cm 與 m 混在同一條式	「同一條式只可以有一種單位，先全部換成 cm 才開機。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　全科章節一覽
備課指引總索引　其他科目的同類章節
本章重做　重做展開圖與排水法各兩題，每步寫出處

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
圓錐展開後扇形半徑是邊條	斜高 13 cm，不是高 12 cm	答「高」＝回到第一幕
同底同高錐體是柱體幾分之幾	三分之一	答「一半」＝重講第三幕
相似比 3 的體積比	27 : 1	答「3 : 1」＝重講第三幕

09　導師常問

斜高一定要用畢氏定理算？

若題目直接給斜高就不用；只給 r 與 h 時，斜高是唯一需要先算的中間量，佔分通常就在這一步。

為甚麼表面積用 k²、體積用 k³？

面積是兩個方向的長度相乘，體積是三個方向；每個方向都乘 k，所以分別是 k² 與 k³。

複合立體怎樣拆？

先找可分的柱、錐、球，逐件算再加減；重疊部分要扣，不要重複計。

立即免費搵導師導師登記 →

本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。