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高中生物｜遗传学数据分析（卡方检定） 备课指引（导师用）｜3:1 与 1:2:1 的统计验证
学生背得出 3:1，但考卷给的是 290:110。这一堂教他们用卡方检定讲清楚：这个差距是随机误差，还是比例本身不成立。
本堂目标 学生能够：(1) 由遗传比例与样本数算出期望数，并核对期望数总和等于样本数；(2) 用 Σ(O−E)²/E 算出卡方值，并由类别数定自由度；(3) 对照 3.841／5.991 写出一句完整结论（不拒绝／拒绝假设），而不是只写“接近”。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 遗传比例 | Aa × Aa 的表现型比例是多少 | 3 显性 : 1 隐性 |
| 期望数 | 400 只果蝇按 3:1 分，期望几多只 | 300 与 100，加起来要等于 400 |
| 显著水平 | 0.05 这条线代表什么 | 差距大过这条线的机会低于 5%，就当比例不成立 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0-8 分钟 | 先备快检 | 抽问 3:1 与期望数算法，错就即场补 | 学生口答三条 |
| 8-20 分钟 | 建立假设 | 写出 H0＝符合 3:1、H1＝不符合，并列 O 与 E 两行 | 填表 |
| 20-35 分钟 | 算卡方值 | 逐格 (O−E)²/E 再加总，保留三位小数 | 学生自己算 290:110 |
| 35-45 分钟 | 定自由度 | df＝类别数−1；两个类别 df=1，三个类别 df=2 | 对照临界值表 |
| 45-53 分钟 | 写结论句 | 比较卡方值与临界值，写“不拒绝 H0／拒绝 H0”加一句解释 | 写两句 |
| 53-60 分钟 | 离场检查 | 三条口头题，答错即指出回哪一幕 | 独立作答 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：第一幕：先把期望数写死在表上
H0 一定要写成“观察数符合 3:1”，不是“符合孟德尔定律”这种空话；有 H0 才有一条可比对的线。
期望数由比例乘样本数得出：400 × 3/4 = 300，400 × 1/4 = 100，两格加起来必须等于 400，加起来不等就是算错。
1:2:1 的情况同样处理：240 × 1/4 = 60、240 × 2/4 = 120、240 × 1/4 = 60，期望数总和 240。
期望数由比例乘样本数得出：400 × 3/4 = 300，400 × 1/4 = 100，两格加起来必须等于 400，加起来不等就是算错。
1:2:1 的情况同样处理：240 × 1/4 = 60、240 × 2/4 = 120、240 × 1/4 = 60，期望数总和 240。
问学生：这组数据的期望数加起来，等不等于样本数？
第二幕：第二幕：卡方值是“每格差距除以期望数”再加总
公式只有一个：χ² = Σ(O−E)²/E。学生最常做的是先加总差距才平方，正确做法是逐格平方再除，最后才加。
290:110 这一组：两格差距都是 10，10²/300 = 0.333，10²/100 = 1.000，卡方值 1.333。
1:2:1 那一组：55:130:55 对 60:120:60，得 0.417 + 0.833 + 0.417 = 1.667。三格分开算，不要合并。
290:110 这一组：两格差距都是 10，10²/300 = 0.333，10²/100 = 1.000，卡方值 1.333。
1:2:1 那一组：55:130:55 对 60:120:60，得 0.417 + 0.833 + 0.417 = 1.667。三格分开算，不要合并。
问学生：你是逐格平方，还是加总之后才平方？
第三幕：第三幕：自由度与结论句
自由度＝类别数 − 1，不是样本数 − 1，也不是题目给的数字。两个类别 df=1，临界值 3.841；三个类别 df=2，临界值 5.991（5% 显著水平）。
卡方值小于临界值就写“在 5% 显著水平下不拒绝 H0，观察比例与 3:1 无显著差异”；大于就写“拒绝 H0，数据不支持 3:1”。
结论句一定要有方向与术语，写“差不多”“好接近”一律不给分。
卡方值小于临界值就写“在 5% 显著水平下不拒绝 H0，观察比例与 3:1 无显著差异”；大于就写“拒绝 H0，数据不支持 3:1”。
结论句一定要有方向与术语，写“差不多”“好接近”一律不给分。
问学生：自由度是几多？临界值又是几多？
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 单因子 3:1 | 400 只果蝇 290:110 | 写 H0、期望 300/100、χ²=1.333、df=1、比较 3.841 | 结论：不拒绝 H0 |
| 共显性 1:2:1 | 240 株 55:130:55 | 期望 60/120/60、χ²=1.667、df=2、比较 5.991 | 结论：不拒绝 H0 |
| 双因子 9:3:3:1 | 160 株四个类别 | 期望各 90/30/30/30、df=3、临界值 7.815 | 自由度随类别数变，不是固定 1 |
| 反向题：已知卡方值 | χ²=9.2、df=1 | 比较 3.841 → 拒绝 H0，再解释差距来自哪里 | 要指出最大贡献那一格 |
合理性检查（一定要教）：合理性检查：290 + 110 = 400，与题目样本数一致；期望数 300 + 100 = 400 亦一致。χ²=1.333 小于 3.841，df=1，结论不拒绝 H0。另一组 55 + 130 + 55 = 240，期望 60 + 120 + 60 = 240，χ²=1.667 小于 5.991（df=2），同样不拒绝 H0。两题的百分比 72.5% / 27.5% 与 75% / 25% 相差只有 2.5 个百分点，这个差距落在取样误差范围内，正是“贴近但不完全等于”的典型。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| 三组数据轮流算 | 3:1、1:2:1、9:3:3:1 各一组 | 期望数总和是否等于样本数 |
| 只写结论句 | 给卡方值与 df，限时两分钟写结论 | 有没有写出“拒绝／不拒绝”与理由 |
| 找错处 | 预备一份把差距先加总的错解 | 学生能否指出错在平方的次序 |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 把差距加总后才平方 | 写成 (10+10)²/400 | 先逐格平方再除，最后才加总。次序错了，数值再整齐都是零分。 |
| 自由度用样本数减一 | df=399 | 自由度只看类别数：两类 df=1，三类 df=2。样本数大细不影响自由度。 |
| 结论只写“接近 3:1” | “同 3:1 好接近” | 要写“在 5% 显著水平下不拒绝 H0”，接近不是统计语言，改卷不会给分。 |
| 期望数四舍五入后总和不等 | 期望写成 300.4 与 100.4 | 期望数要能加回样本数，出现小数就表示比例或样本数抄错，先回头核对题目。 |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 自由度怎样定 | 类别数减一：两类 df=1、三类 df=2 | 答“样本数减一”表示第二幕未入脑 |
| χ²=1.333、df=1 的结论是什么 | 小于 3.841，不拒绝 H0，比例与 3:1 无显著差异 | 只答“接近”等于未完成第三幕 |
| 期望数一定要符合什么条件 | 各格加起来等于样本数 | 答不出表示第一幕的核对步骤被跳过 |
09 导师常问
学生未学过统计，可否只教公式？
可以，但必须保留“写 H0 → 算期望 → 算 χ² → 比临界值 → 写结论”五步，公式只是第三步。
要不要背临界值表？
DSE 通常给表，学生只需记 df 怎样定，以及 5% 水平下 df=1 是 3.841、df=2 是 5.991 两个常用值。
样本数很小怎么办？
期望数低于 5 的格子要合并类别再算，这一步要在课堂讲明，否则学生会硬算细数。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。