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高中生物｜遺傳學數據分析（卡方檢定） 備課指引（導師用）｜3:1 與 1:2:1 的統計驗證
學生背得出 3:1，但考卷給的是 290:110。這一堂教他們用卡方檢定講清楚：這個差距是隨機誤差，還是比例本身不成立。
本堂目標 學生能夠：(1) 由遺傳比例與樣本數算出期望數，並核對期望數總和等於樣本數；(2) 用 Σ(O−E)²/E 算出卡方值，並由類別數定自由度；(3) 對照 3.841／5.991 寫出一句完整結論（不拒絕／拒絕假設），而不是只寫「接近」。
01 先備知識（開課前 3 分鐘快檢）
以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：
| 技能 | 快檢題 | 過關標準 |
|---|---|---|
| 遺傳比例 | Aa × Aa 的表現型比例是多少 | 3 顯性 : 1 隱性 |
| 期望數 | 400 隻果蠅按 3:1 分，期望幾多隻 | 300 與 100，加起來要等於 400 |
| 顯著水平 | 0.05 這條線代表甚麼 | 差距大過這條線的機會低於 5%，就當比例不成立 |
02 課堂流程（60 分鐘）
| 時間 | 環節 | 導師做什麼 | 學生做什麼 |
|---|---|---|---|
| 0-8 分鐘 | 先備快檢 | 抽問 3:1 與期望數算法，錯就即場補 | 學生口答三條 |
| 8-20 分鐘 | 建立假設 | 寫出 H0＝符合 3:1、H1＝不符合，並列 O 與 E 兩行 | 填表 |
| 20-35 分鐘 | 算卡方值 | 逐格 (O−E)²/E 再加總，保留三位小數 | 學生自己算 290:110 |
| 35-45 分鐘 | 定自由度 | df＝類別數−1；兩個類別 df=1，三個類別 df=2 | 對照臨界值表 |
| 45-53 分鐘 | 寫結論句 | 比較卡方值與臨界值，寫「不拒絕 H0／拒絕 H0」加一句解釋 | 寫兩句 |
| 53-60 分鐘 | 離場檢查 | 三條口頭題，答錯即指出回哪一幕 | 獨立作答 |
03 講解腳本（照著說就可以）
第一幕：第一幕：先把期望數寫死在表上
H0 一定要寫成「觀察數符合 3:1」，不是「符合孟德爾定律」這種空話；有 H0 才有一條可比對的線。
期望數由比例乘樣本數得出：400 × 3/4 = 300，400 × 1/4 = 100，兩格加起來必須等於 400，加起來不等就是算錯。
1:2:1 的情況同樣處理：240 × 1/4 = 60、240 × 2/4 = 120、240 × 1/4 = 60，期望數總和 240。
期望數由比例乘樣本數得出：400 × 3/4 = 300，400 × 1/4 = 100，兩格加起來必須等於 400，加起來不等就是算錯。
1:2:1 的情況同樣處理：240 × 1/4 = 60、240 × 2/4 = 120、240 × 1/4 = 60，期望數總和 240。
問學生：這組數據的期望數加起來，等不等於樣本數？
第二幕：第二幕：卡方值是「每格差距除以期望數」再加總
公式只有一個：χ² = Σ(O−E)²/E。學生最常做的是先加總差距才平方，正確做法是逐格平方再除，最後才加。
290:110 這一組：兩格差距都是 10，10²/300 = 0.333，10²/100 = 1.000，卡方值 1.333。
1:2:1 那一組：55:130:55 對 60:120:60，得 0.417 + 0.833 + 0.417 = 1.667。三格分開算，不要合併。
290:110 這一組：兩格差距都是 10，10²/300 = 0.333，10²/100 = 1.000，卡方值 1.333。
1:2:1 那一組：55:130:55 對 60:120:60，得 0.417 + 0.833 + 0.417 = 1.667。三格分開算，不要合併。
問學生：你是逐格平方，還是加總之後才平方？
第三幕：第三幕：自由度與結論句
自由度＝類別數 − 1，不是樣本數 − 1，也不是題目給的數字。兩個類別 df=1，臨界值 3.841；三個類別 df=2，臨界值 5.991（5% 顯著水平）。
卡方值小於臨界值就寫「在 5% 顯著水平下不拒絕 H0，觀察比例與 3:1 無顯著差異」；大於就寫「拒絕 H0，數據不支持 3:1」。
結論句一定要有方向與術語，寫「差不多」「好接近」一律不給分。
卡方值小於臨界值就寫「在 5% 顯著水平下不拒絕 H0，觀察比例與 3:1 無顯著差異」；大於就寫「拒絕 H0，數據不支持 3:1」。
結論句一定要有方向與術語，寫「差不多」「好接近」一律不給分。
問學生：自由度是幾多？臨界值又是幾多？
04 必教題型與步驟
| 題型 | 例子 | 步驟 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 單因子 3:1 | 400 隻果蠅 290:110 | 寫 H0、期望 300/100、χ²=1.333、df=1、比較 3.841 | 結論：不拒絕 H0 |
| 共顯性 1:2:1 | 240 株 55:130:55 | 期望 60/120/60、χ²=1.667、df=2、比較 5.991 | 結論：不拒絕 H0 |
| 雙因子 9:3:3:1 | 160 株四個類別 | 期望各 90/30/30/30、df=3、臨界值 7.815 | 自由度隨類別數變，不是固定 1 |
| 反向題：已知卡方值 | χ²=9.2、df=1 | 比較 3.841 → 拒絕 H0，再解釋差距來自哪裡 | 要指出最大貢獻那一格 |
合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：290 + 110 = 400，與題目樣本數一致；期望數 300 + 100 = 400 亦一致。χ²=1.333 小於 3.841，df=1，結論不拒絕 H0。另一組 55 + 130 + 55 = 240，期望 60 + 120 + 60 = 240，χ²=1.667 小於 5.991（df=2），同樣不拒絕 H0。兩題的百分比 72.5% / 27.5% 與 75% / 25% 相差只有 2.5 個百分點，這個差距落在取樣誤差範圍內，正是「貼近但不完全等於」的典型。
05 獨立練習三題
| 題目 | 答案 | 想觀察什麼 |
|---|---|---|
| 三組數據輪流算 | 3:1、1:2:1、9:3:3:1 各一組 | 期望數總和是否等於樣本數 |
| 只寫結論句 | 給卡方值與 df，限時兩分鐘寫結論 | 有沒有寫出「拒絕／不拒絕」與理由 |
| 找錯處 | 預備一份把差距先加總的錯解 | 學生能否指出錯在平方的次序 |
06 學生常見錯誤與糾正句
| 錯誤 | 學生通常這樣寫 | 導師這樣說 |
|---|---|---|
| 把差距加總後才平方 | 寫成 (10+10)²/400 | 先逐格平方再除，最後才加總。次序錯了，數值再整齊都是零分。 |
| 自由度用樣本數減一 | df=399 | 自由度只看類別數：兩類 df=1，三類 df=2。樣本數大細不影響自由度。 |
| 結論只寫「接近 3:1」 | 「同 3:1 好接近」 | 要寫「在 5% 顯著水平下不拒絕 H0」，接近不是統計語言，改卷不會給分。 |
| 期望數四捨五入後總和不等 | 期望寫成 300.4 與 100.4 | 期望數要能加回樣本數，出現小數就表示比例或樣本數抄錯，先回頭核對題目。 |
07 家課建議（直接指到練習卷題號）
08 離場檢查（最後 5 分鐘）
| 題目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| 自由度怎樣定 | 類別數減一：兩類 df=1、三類 df=2 | 答「樣本數減一」表示第二幕未入腦 |
| χ²=1.333、df=1 的結論是甚麼 | 小於 3.841，不拒絕 H0，比例與 3:1 無顯著差異 | 只答「接近」等於未完成第三幕 |
| 期望數一定要符合甚麼條件 | 各格加起來等於樣本數 | 答不出表示第一幕的核對步驟被跳過 |
09 導師常問
學生未學過統計，可否只教公式？
可以，但必須保留「寫 H0 → 算期望 → 算 χ² → 比臨界值 → 寫結論」五步，公式只是第三步。
要不要背臨界值表？
DSE 通常給表，學生只需記 df 怎樣定，以及 5% 水平下 df=1 是 3.841、df=2 是 5.991 兩個常用值。
樣本數很小怎麼辦？
期望數低於 5 的格子要合併類別再算，這一步要在課堂講明，否則學生會硬算細數。
本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。