DSE 数学｜圆的基本性质备课指引（导师用）

DSE 数学｜圆的基本性质备课指引（导师用）｜圆心角、圆周角与切线

2026-11-05

这一堂解决：学生背齐所有圆的定理，但一见图就乱加辅助线，讲不出为何要用那一条。

本堂目标　①能在图上标出圆心角与圆周角并讲出两者的两倍关系；②能用“同弧”与“同一弓形”判断哪些角相等；③能分辨切线的三个用法：半径垂直、切线段等长、切线与弦的夹角。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
等腰三角形性质	两边相等，底角有什么关系？	答出底角相等即收货
三角形内角和	三角形三角相加等于多少？	答 180 度
圆的基本词汇	半径、直径、弦、弧有何分别？	混淆弦与弧要先补两分钟

02　课堂流程（45 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
5 分钟	开场诊断	画一个圆与一条弦，叫学生标出圆心角与圆周角	独立标，不翻书
8 分钟	定理地图	白板画四格：圆心角、圆周角、切线、圆内接四边形，每格只写一句	抄入笔记，每格写一句
12 分钟	圆心角与圆周角	由等腰三角形推导圆心角等于圆周角两倍	跟推一次，再自己推一次
10 分钟	切线	示范三种切线用法，每种配一题	每种抄一条例题
10 分钟	实战题	派两题综合题，一题要加辅助线	限时八分钟

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：先用一条弦把圆切开

画圆，标圆心 O、圆周上一点 A、弦 BC。问：
‘圆心角 BOC 与圆周角 BAC，你估边个大？大几多？’
收几个答案后讲：‘圆周角永远是圆心角的一半，前提是两个角都对着同一条弧 BC。’
然后用等腰三角形推一次：OB 等于 OC 是半径，所以三角形 OBC 两底角相等，再用外角定理就得证。

学生要讲出“对着同一条弧”这个前提，讲不出就在图上用颜色笔把弧 BC 画实。

第二幕：同弧与同一弓形

在弧 BC 上多取两点 P、Q，问：‘角 BPC 与角 BQC 相等吗？’
学生答相等之后追问：‘如果 P 在另一边的弧上呢？’带出圆内接四边形对角互补。

学生要能说出“同一弓形内的圆周角相等；不同弓形就互补”。

第三幕：切线的三个用法

画圆外一点 T 引出两条切线，切点 A、B。问：‘TA 同 TB 边条长？’
再问：‘OA 同 AT 夹几多度？’带出半径垂直切线，再用全等三角形证明切线段等长。

三个用法各写一句到笔记：半径垂直、切线段等长、切线与弦夹角等于另一弓形的圆周角。

第四幕：综合题与收尾

给一题同时有切线与圆内接四边形的图，示范先连半径找等腰三角形，再叫学生用三十秒讲出四格定理地图。

学生要讲出“见到切点就连半径”，并口头覆述四格，不许看笔记。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
求角题	圆内接四边形 ABCD，角 A 等于 85 度，求角 C。	①认出对角互补 ②180 减 85 ③写出理由	角 C 等于 95 度，因为圆内接四边形对角互补。
证明题	已知 AT 与 BT 为切线，求证 TA 等于 TB。	①连 OA、OB ②证两个直角三角形全等 ③对应边相等	OA 等于 OB（半径），OT 公共，角 OAT 与角 OBT 均为 90 度，故三角形全等，TA 等于 TB。
平行线与圆	圆上两弦 AB 与 CD 平行，求证弧 AC 等于弧 BD。	①连 AD ②用内错角 ③同一弓形圆周角相等	角 BAD 等于角 ADC（内错角），两角所对的弧 BD 与弧 AC 相等。
文字应用题	一个圆形花圃，两条小径由圆外一点引出并与花圃相切，已知两切点，求小径长。	①切线段等长 ②设未知数 ③解方程	设切线段长为 x，用两条切线等长列式，解得后写单位。

合理性检查（一定要教）：角度要合理：圆周角必为圆心角一半，圆内接四边形对角和为 180 度，三角形内角和不是 180 度就一定错。切点半径与切线必成 90 度。不要写“所有圆周角都等于圆心角一半”而不提同一条弧。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
图中圆心角为 130 度，求同一条弧所对的圆周角	65 度	有没有写“同一条弧”这个条件
圆内接四边形一角为 70 度，求对角	110 度	有没有用对角互补而不是用 360 度减
已知切线与弦的夹角为 62 度，求另一弓形的圆周角	62 度	有没有指出是另一弓形

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
圆周角当成圆心角	呢个角系圆周角，所以系圆心角的一半。	“你讲了结论，但边两个角对住同一条弧？指畀我看。”
忽略同一弓形条件	两个圆周角都对住个圆，所以相等。	“同一条弧先相等；不同弓形系互补，不系相等。”
切线当割线	连 OT 就得，不使理切点。	“切点𠮶条半径一定要连，不连就没有 90 度可以用。”
辅助线乱加	我加了三条线但不知边条有用。	“每加一条线要讲出你想用边个定理，讲不出就擦走他。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

S6 圆形轨迹备课指引：第 5 节题型表第 2 行　把圆的方程与圆形性质接上，练习由图转式
S6 概率备课指引：第 7 节独立练习第 1 题　综合卷常把圆的性质与概率放在同一题组
本科索引：中学数学备课指引　下堂前自选两章预习

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
写出圆周角与圆心角的关系及前提	圆周角是圆心角一半，前提是对着同一条弧	漏写前提，下堂重教第二幕
切线的三个用法各写一句	半径垂直切线、切线段等长、切线与弦夹角等于另一弓形圆周角	只写得一个，需重做切线练习
给一个图讲出第一条辅助线	见到切点就连半径	讲不出，下堂用同一图再练

09　导师常问

这一章适合哪一年级

中五为主；中四下学期若已教完三角形全等，可提前用第一幕。

45 分钟够不够

够。四格定理地图只讲四句，其余时间全部用来做图，不做纯文字推导。

要不要背定理编号

不用。要求学生讲出“对着哪条弧”与“哪个是切点”，比背编号有用。

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