中六數學｜軌跡與圓的方程備課指引（導師用）｜垂直平分線、圓的一般式、拋物線型軌跡

2026-11-02

學生背得出「軌跡是滿足條件的點集」，但一落到座標就只懂死記公式，見到 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 講不出圓心同半徑。這一堂把三個條件翻譯成同一件事：距離相等就寫方程。

本堂目標　學生能夠：① 把「與兩點等距」譯成垂直平分線方程，並用代入兩端點檢驗；② 在圓的標準式與一般式之間互換，由 D、E、F 直接讀出圓心與半徑；③ 把「與一點及一線等距」譯成拋物線方程，並判斷開口方向與頂點。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
兩點距離	A(1, 2) 與 B(5, 10) 的距離	√(16 + 64) = √80 ≈ 8.94
斜率	AB 的斜率	(10 − 2) ÷ (5 − 1) = 2
配方法	x² − 4x 配成完全平方	(x − 2)² − 4

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–8 分	軌跡的定義與翻譯表	四種條件各寫成一句距離關係	四個方程
8–20 分	垂直平分線	A(1, 2)、B(5, 10)	x + 2y − 15 = 0
20–34 分	圓的標準式與一般式	圓心 (2, -3)、半徑 5	F = -12
34–44 分	三點定一圓	直徑端點與圓上三點	圓心 (3, 4)、r = 5
44–54 分	與點及與線等距	點 (0, 0)、線 x = 4	y² = -8(x − 2)
54–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：軌跡不是畫圖，是把條件譯成距離

「與 A、B 兩點等距」的唯一意思，就是 PA = PB。寫成距離式再平方，根號自然消失：中點是 (3, 6)，AB 的斜率是 2，所以垂直平分線斜率是 -0.50，方程 x + 2y − 15 = 0。
檢驗比推導更重要：代 A 得 -10、代 B 得 10，大小相同、符號相反，代表兩點在線的兩側且等距。
同一個翻譯法可以處理「與一直線距離固定」——那是兩條平行線，不是一條，學生最常漏其中一條。

要學生做：寫出與 A、B 等距那條線的方程，再用代入法自我檢查。

第二幕：圓的方程只有一種，寫法有兩種

標準式 (x − 2)² + (y + 3)² = 5² 一眼看到圓心 (2, -3) 與半徑 5；展開後得 x² + y² -4x +6y -12 = 0。
反向操作就是背三個對應：D = −2h、E = −2k、F = h² + k² − r²。所以圓心是 (−D ÷ 2, −E ÷ 2)，半徑是 √((D ÷ 2)² + (E ÷ 2)² − F)，代入得 √(4 + 9 + 12) = 5。
由直徑端點 (1, 1) 與 (7, 9) 出發，中點 (4, 5) 是圓心、半長 5 是半徑，方程 x² + y² -8x -10y +16 = 0。一個更快的方法：以直徑為斜邊的圓周角是直角，所以 (x − 1)(x − 7) + (y − 1)(y − 9) = 0。

要學生講：為何三點就可以定一個圓，而兩點不行。

第三幕：與點等距、與線等距：一條是直線，一條是曲線

與點 (0, 0) 等距、又與直線 x = 4 等距的點，寫成 √(x² + y²) = |x − 4|，平方後得 y² = -8x + 16，即 y² = -8(x − 2)。
頂點在 (2, 0)、開口向左，因為點在線的左邊，曲線一定向遠離直線的方向張開。學生若寫成 y² = 8(x − 2) 就是符號反了，可以用一個具體點驗：x = 0 時左邊 y² 為正、右邊 −8(0 − 2) = 16，所以 y = ±4，而 (0, 4) 到原點距離 4、到 x = 4 距離 4，完全符合。
切線條件是另一類：直線 y = x + k 與 x² + y² = 5 相切，即圓心到線的距離等於半徑，|k| ÷ √2 = 5，所以 k = ±7.07。答案永遠兩個，因為上下各有一條平行切線。

提醒：軌跡題最後一定要用一個具體點回代，這是最便宜的自檢。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
計算	垂直平分線方程	取中點、取負倒數斜率、代點斜式	x + 2y − 15 = 0
計算	一般式讀圓心半徑	圓心 (−D ÷ 2, −E ÷ 2)，r = √((D ÷ 2)² + (E ÷ 2)² − F)	(2, -3)、r = 5
計算	三點或直徑定圓	中點作圓心、半長作半徑，或解聯立	x² + y² -6x -8y = 0
解釋	判斷軌跡類型	先寫距離關係，再看是線性還是二次	直線或拋物線

合理性檢查（一定要教）：圓的半徑平方必須為正：5² = 25 合規；若算出負數，代表 F 太大或 D、E 抄錯。
垂直平分線的代值必須一正一負、大小相同：−10 與 +10 對得上，同號代表斜率用了正倒數。
切線的 k 必有兩解：±7.07；只寫一個就是漏了另一側。
拋物線的 a 與頂點必須同向：頂點在 (2, 0)、a = -8 為負，開口向左；若學生寫 a 為正又講「向左」，兩者矛盾，即時可判錯。
軌跡答案用一個具體點回代，距離必須相等，這一步不需要任何公式。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
與 (1, 2)、(5, 10) 等距的軌跡方程	x + 2y − 15 = 0	中點加負倒數斜率
x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 的圓心與半徑	圓心 (2, −3)，半徑 5	D ÷ 2 與 E ÷ 2 要變號
以 (1, 1)、(7, 9) 為直徑端點的圓方程	x² + y² − 8x − 10y + 16 = 0	中點是圓心，半長是半徑
與原點及 x = 4 等距的軌跡	y² = −8(x − 2)	平方後留意展開符號

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把斜率直接照抄	寫成 y − 6 = 2(x − 3)	「垂直即係負倒數，斜率要變成 −1/2。」
圓心忘記變號	寫成圓心 (4, −6)	「D = −2h，所以 h 係 −D ÷ 2，一定要變號。」
半徑用 F 直接開方	寫成 r = √12	「半徑平方係 (D ÷ 2)² + (E ÷ 2)² − F，唔係 −F 咁簡單。」
拋物線開口方向靠估	寫成 y² = 8(x − 2)	「用一個具體點回代，距離一左一右就即刻見到符號錯。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　軌跡與圓的方程一章全節
圓的性質章節　圓心角與圓周角的幾何版本
備課指引總目　對照其他座標幾何章節

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
與兩點等距的軌跡是什麼圖形	垂直平分線	錯＝下堂前重寫距離式
x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 的半徑	5	錯＝回到配方法那一步
與點及與線等距離的軌跡	拋物線，開口向左	錯兩題以上＝重講第三幕

09　導師常問

為何軌跡方程要平方？

平方把根號去掉，令方程變成多項式；代價是可能引入增根，所以最後要用具體點回代檢驗。

兩點可以定一個圓嗎？

不可以。圓心必須在兩點的垂直平分線上，那是一整條線，需要第三點才能鎖定唯一位置。

切線條件的答案為何成對出現？

圓心到直線的距離只計絕對值，直線在圓的兩側各有一條平行切線，所以 k 取正負兩值。

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本頁為 TutorZone 導師備課指引，內容由 TutorZone 團隊編寫；題目與流程為原創，並非任何學校或出版社的教材。