DSE 數學｜概率備課指引（導師用）｜樣本空間、條件概率與獨立事件

2026-11-01

學生背得出 P(A∪B) 公式，但一見「至少」就亂加，一見「已知」就當普通概率。問題不在公式，在於沒有先把樣本空間寫出來。這一堂把「先列樣本空間」變成開題第一個動作，之後所有題目同一個起手。

本堂目標　學生能夠：① 用列表或樹狀圖寫出樣本空間並數清總數；② 分辨互斥與獨立，正確選加法或乘法；③ 處理「至少」時用反面扣除；④ 讀懂「已知⋯⋯求」的條件概率並收窄分母。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
分數運算	約分與通分要熟	6/36 化簡為 1/6
列舉法	有系統地列出結果	骰仔用 (1,1) 到 (6,6) 的表格
集合概念	交集與聯集	A∩B 是兩件事同時發生

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–10 分	樣本空間	先數總數，不談公式	兩個骰仔共 36 個結果
10–24 分	加法法則	互斥才可以直接加	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
24–38 分	乘法法則	獨立才可以乘	0.6×0.5=0.3
38–48 分	條件概率	分母要收窄	已知是面牌，分母由 52 變 12
48–55 分	「至少」題	反面扣除最快	三枚硬幣至少一個公＝1−1/8
55–60 分	離場檢查	三題收回即批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一個動作：先把樣本空間寫出來

兩枚骰仔，總共 36 個有序結果，寫成 6×6 的表格，不要靠腦補。和為 7 的組合是 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共 6 個，所以 P(和為 7) = 6/36 = 1/6。
學生最常錯的是把 (1,6) 與 (6,1) 當同一個，總數就變成 21，之後全錯。要學生講：兩枚骰仔一樣點數，為甚麼仍然是兩個結果？（因為第一枚和第二枚是兩件不同物件。）

要學生做：用表格列出和為 8 的所有結果，並數出共有幾個。

第二幕：加法與乘法：先問互斥還是獨立

互斥＝不能同時發生，才可以 P(A∪B) = P(A) + P(B)。可以同時發生就要減去交集，例如抽一張牌是紅桃或老 K。獨立＝一件事發生不影響另一件，才可以相乘：A 發生機會 0.6、B 是 0.5，同時發生就是 0.6×0.5 = 0.3。
判斷獨立的關鍵句是「放回」與「不影響」。抽牌不放回就不是獨立，第二張要改分母。要學生計：兩件事都不發生的機會是 (1−0.6)×(1−0.5) = 0.2。

提醒：把「互斥」與「獨立」混在一起，是這一章最大失分位。

第三幕：條件概率與「至少」：兩個固定動作

「已知抽到面牌，求它是老 K」：分母收窄為 12 張面牌，分子 4 張老 K，答案 4/12 = 1/3，不是 4/52。「3 枚硬幣至少一個公」：反面是完全沒有公，機會 1/8，所以答案 1−1/8 = 7/8。
條件概率的寫法是 P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B)，但課堂上先教「收窄分母」，公式留到最後才寫。要學生講：「至少」題為甚麼用反面扣？（因為正面要分一個公、兩個公、三個公，容易漏。）

要學生做：擲兩枚骰仔，求至少一個是 6 的機會（11/36）。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
單一事件	兩骰和為 7	數樣本空間	6/36=1/6
聯集	紅桃或老 K	減去交集	13/52+4/52−1/52
獨立相乘	A 0.6、B 0.5	直接相乘	0.3
條件概率	已知面牌求老 K	收窄分母	4/12=1/3

合理性檢查（一定要教）：任何概率都要在 0 與 1 之間，計出 1.2 就一定錯。樣本空間總數要數得清：兩骰 36、三硬幣 8、一副牌 52。條件概率的答案通常比無條件大，因為分母收窄了：1/3 大於 4/52。獨立事件相乘後應該變小：0.3 小於 0.6 與 0.5。「至少」與「至多」互補，兩個答案相加必須等於 1。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
兩骰和為 7 的機會	1/6	6/36 約簡
三硬幣至少一個公	7/8	1 − 1/8
已知面牌求老 K	1/3	分母收窄為 12

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
(1,6) 與 (6,1) 當一個	總數變 21	「兩枚骰仔係兩件嘢，倒轉都算一個結果。」
互斥與獨立混淆	把獨立事件相加	「可以同時發生就唔係互斥，唔可以就咁加。」
條件概率照用 52	答 4/52	「已知咗係面牌，分母已經變咗 12。」
「至少」逐個情況加	漏了兩個公的情況	「用 1 減去完全冇，快而且唔會漏。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

中學數學章節索引　第 4、6 題同類型
備課指引總目錄　同科其他章節
小學數學測驗卷　分數運算熱身

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
兩骰和為 8 的機會	5/36	三題全對＝可進統計
P(A\|B) 的分母是甚麼	B 的樣本空間	錯一題＝下堂重講
「至少一個」的做法	用 1 減去完全沒有	錯兩題以上＝回到第一幕

09　導師常問

互斥同獨立點分？

互斥講「可不可以同時發生」，獨立講「一件事會不會影響另一件」，兩者無關，可以既非互斥亦非獨立。

為甚麼條件概率分母要收窄？

因為「已知 B 發生」等於把樣本空間限制在 B 之內，所有機會都要在 B 裡面重新計。

「至少」題一定用反面嗎？

多數情況是，尤其涉及三次以上；只有兩三個情況時正面列舉也可以，但要寫齊。

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