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中五数学 指数与对数练习四：错题重练
中五数学 指数与对数练习四：错题重练
十题针对历来最常见的四类错误：把指数相加当相乘、分数指数次序颠倒、把对数的加法拆开、以及忽略真数必须为正的定义域。每题重算一次。
直接答案 第 01 至 03 题重算指数律与分数指数，第 04 至 06 题处理对数值、对数相加与同底方程，第 07 至 09 题解合并对数方程、人口增长与半衰期，第 10 题改正 log(a + b) 的拆解错误。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 25 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中五数学 指数与对数 |
| 适用年级 | 中五 |
02 题目（10 题）
- 基础化简 2³ × 2⁴，并求其值。
- 基础求 27 的 2/3 次方的值。
- 基础解方程 3 的 x 次方等于 81。
- 进阶求 log₂ 32 与 log₃(1/9) 的值。
- 进阶求 log 8 + log 125 的值（以 10 为底）。
- 进阶解 2 的 (x + 1) 次方等于 32。
- 挑战解 log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3。
- 挑战某城市人口 500 000，每年增长 4%。求最少几年后人口超过 700 000。
- 挑战某放射性物质半衰期 20 年，起初 800 g。求 60 年后的质量，并求降至 25 g 所需年数。
- 错题重练有同学写 log(4 + 5) = log 4 + log 5，并说两边都得 1.301。错在哪里？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | 2⁷，即 128。 | 同底数相乘，指数相加，8 与 16 不用逐个乘开。 |
| 2 | 9（先取立方根得 3，再平方）。 | 分数指数分母开方、分子乘方，两步次序可以对调。 |
| 3 | x = 4。 | 把右边写成同底数 3⁴，再比较指数。 |
| 4 | 5 与 −2。 | 1/9 即 3⁻²，对数可以是负数。 |
| 5 | log 1000，即 3。 | 同底对数相加，等于真数相乘后的对数，8 × 125 = 1000。 |
| 6 | x = 4。 | 两边同底后指数相等，x + 1 = 5。 |
| 7 | x = 3。 | 合并后 (x − 1)(x + 1) = 8，取正根并检查定义域 x 大于 1。 |
| 8 | 9 年。第 8 年 684 285 人仍未够，第 9 年 711 656 人。 | 解 500000 × 1.04ⁿ 大于 700000，n 大于 8.6 故取 9。 |
| 9 | 60 年后 100 g；降至 25 g 需 100 年。 | 每 20 年减半，60 年三次半衰期，25 g 需五次即 100 年。 |
| 10 | 对数只把乘法拆开：log 9 ≈ 0.954，而 log 4 + log 5 = log 20 ≈ 1.301。 | log(ab) 才等于 log a + log b，加法不可拆。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。