DSE 数学｜三角函数图像与变换备课指引（导师用）

DSE 数学｜三角函数图像与变换备课指引（导师用）｜一条式读齐四个参数

2026-11-03

学生见到 3 sin(2x − 60°) 就乱，四个数字互相打架。这一堂给一个固定次序：先读振幅、再算周期、再把括号内的常数除开做平移、最后用五点定位画图，让每一步只改一个东西。

本堂目标　学生能够：① 讲出 y = 3 sin(2x − 60°) 的振幅 3、周期 180°；② 算出相位平移是右移 30°（不是 60°）；③ 定位最大值在 x = 75°、最小值在 x = 165°、零点在 30° 与 120°；④ 用同一套次序处理 y = −2 cos(3x) + 1，得振幅 2、周期 120°、最大值 3、最小值 −1。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
正弦的基本形	y = sin x 的最大值与最小值	1 与 −1
周期定义	y = sin 2x 在 0° 到 360° 内重复几次	2 次，即周期 180°
解简单方程	sin θ = 1 时 θ 最小正角	90°
负号的意义	y = −f(x) 的图像怎样变	沿 x 轴反射

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	开场对比	同时画 y = sin x 与 y = 3 sin 2x	讲出“高了”与“密了”
8–18 分	振幅	指出振幅只看 sin 前面的数	自己读出三个式子的振幅
18–30 分	周期	示范 360 ÷ 2 = 180	自己算 3x 的周期
30–44 分	相位平移	把 2x − 60 写成 2(x − 30)	自己解释为何是右移 30°
44–52 分	五点定位	用 30、75、120、165 四个关键 x 画图	自己标出最大最小与零点
52–60 分	独立练习	两题限时 8 分钟	对答案并讲出错在哪个参数

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：振幅只看前面的数，正负号只管方向

y = 3 sin(2x − 60°) 的振幅是 3，因为 sin 的输出最多 1，乘 3 就最多 3。若前面是负数，例如 −2 cos 3x，振幅仍然是 2，负号只是把图上下反转，最大值变成 +2、最小值 −2。学生最常把负号当成“振幅是负”，之后所有最大最小值都错。要他们每次都写“振幅 = |a|”。

要学生讲出 y = −4 sin x 的振幅，并指出最大值在哪里。

第二幕：周期是 360 除 x 前面的数

2x 表示在 0° 到 360° 之间跑了两个完整循环，所以一个循环只需 180°。同理 3x 的周期是 120°。这一条与振幅完全独立，先后次序不能乱：先读 a 得振幅，再读 b 得周期，两者不会互相影响。给学生一个快查：周期乘 b 一定等于 360。

要学生用“周期 × b = 360”检查 y = sin 4x 的周期。

第三幕：括号内的常数要先除开才是平移

2x − 60 提出 2 写成 2(x − 30)，所以是右移 30°，不是 60°。这是最多数人失分的地方，因为他们把 −60 直接当平移。除开之后，最大值出现在 2(x − 30) = 90，即 x = 75°；最小值在 2(x − 30) = 270，即 x = 165°；零点在 x = 30° 与 120°。四个位置都有同一个来源，学生只要记住“先除再解”。

要学生算出 y = sin(3x + 90°) 的平移方向与角度。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
读参数	y = 3 sin(2x − 60°)	① 振幅 = \|a\| ② 周期 = 360 ÷ b ③ 平移 = 括号常数 ÷ b	振幅 3、周期 180°、右移 30°
找极值位置	同上，求最大值所在 x	① 令括号 = 90 ② 解 x ③ 检查是否在指定区间	x = 75°
解零点	同上，求 0° 至 180° 内的零点	① 令括号 = 0 与 180 ② 解 x ③ 排序	30° 与 120°
含负号与上下平移	y = −2 cos(3x) + 1	① 振幅 2 ② 周期 120° ③ 上下平移令极值加 1	最大 3、最小 −1

合理性检查（一定要教）：一致性检查：最大值减最小值一定等于 2 × 振幅；3 与 −3 相差 6，等于 2 × 3。零点之间相隔半个周期，30° 与 120° 相差 90°，刚好是 180° 的一半。最大值 75° 与最小值 165° 也相差 90°。任何一项对不上，就代表平移或周期其中一个算错。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
y = 5 sin(4x) 的振幅与周期	振幅 5、周期 90°	有无用 360 ÷ 4
y = sin(2x + 40°) 的平移	左移 20°	有无先除 2
y = −2 cos(3x) + 1 的最大值	3	有无记得加 1

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
平移直接用括号常数	“2x − 60 即左移 60°”	“要先提出 2：2(x − 30)，括号内减 30 才代表右移 30°；你讲左移，连方向都反了。”
负号当负振幅	“y = −2 cos x 的振幅是 −2”	“振幅是距离，一定正数；负号只是把图上下反转，写 \|−2\| = 2。”
周期用 360 × b	“y = sin 2x 的周期是 720°”	“跑了两圈应该更快完成一圈；周期乘 b 要等于 360，所以是 180°。”
极值位置不看区间	“最大值在 75°，所以 0° 至 60° 内最大值在 75°”	“75° 不在你画的区间内；要在端点与区间内关键点一齐比较。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

数学科章节索引　先重温“指数与对数”，再做卷内第 1、2 题
指数与对数　第 3 题同样考图像变换
圆的性质　只做选择题，练参数判读

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
y = 3 sin(2x − 60°) 的振幅	3	错：把负号或 60 当振幅
同一式的周期	180°	错：用 360 × 2
同一式的相位平移	右移 30°	错：直接右移 60°
最大值所在的 x（0° 至 180°）	75°	错：令括号等于 0

09　导师常问

点解要提出 b 才看平移？

因为平移是对 x 本身而言；2x − 60 要写成 2(x − 30) 才看到 x 被减了 30。

tan 的周期是否一样算法？

tan 的基本周期是 180°，所以是 180 ÷ b，不是 360 ÷ b。

可以只靠五点画图吗？

五点足够定出一个周期内的形状；考试若要求准确图形，还要标明轴截距与渐近线。

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本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。