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中六数学 对数与指数：第 3 份（挑战）
中六数学 对数与指数：第 3 份（挑战）
本分把对数律用于方程、复利与半衰期，并要求对数方程考虑定义域。
直接答案 第 1 至 3 题 4、0 或 2、约 0.6990；第 4 至 6 题 3、3 与 0、15 年；第 7 至 9 题 15 年、±100、约 1.710；第 10 题 约 1.585。
01 本卷资料（做完才看答案）
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 题数 | 10 |
| 建议时间 | 20 |
| 难度分布 | 基础 3 · 进阶 3 · 挑战 3 · 错题重练 1 |
| 对应章节 | 所属章节：中六数学 对数与指数 |
| 适用年级 | 挑战 |
02 题目（10 题）
- 基础解 log₂ x + log₂ (x − 2) = 3，其中 x > 2。
- 基础解 2^(2x) − 5(2ˣ) + 4 = 0。
- 基础已知 log 2 ≈ 0.3010，求 log 5 的值。
- 进阶求 log₂ 3 × log₃ 4 × log₄ 8 的值。
- 进阶求 ln e³ 与 ln 1 的值。
- 进阶把 $1000 存入年利率 5% 的户口，每年复利一次。最少要多少年才增至 $2000？
- 挑战某物质每 5 年半减一次，原本 80 g，问多少年后剩 10 g？
- 挑战解 log₁₀ (x²) = 4。
- 挑战解 3ˣ = 2^(x+1)（答案准确至三位小数）。
- 错题重练有学生解 2ˣ = 3 时写 x = 3/2。错在哪里？正确答案是多少？
03 答案与一句解说
| 题号 | 答案 | 一句解说 |
|---|---|---|
| 1 | x = 4 | 合并得 log₂ x(x − 2) = 3，即 x² − 2x − 8 = 0，因式分解得 x = 4 或 −2，取正根 4。 |
| 2 | x = 0 或 x = 2 | 令 y = 2ˣ，得 y² − 5y + 4 = 0，y = 1 或 4，故 x = 0 或 2。 |
| 3 | 约 0.6990 | log 5 = log (10 ÷ 2) = 1 − 0.3010 = 0.6990。 |
| 4 | 3 | 逐项串连，中间底数相消，最后等于 log₂ 8 = 3。 |
| 5 | 3 与 0 | 自然对数以 e 为底，ln e³ = 3、ln 1 = 0。 |
| 6 | 15 年 | 需 1.05ⁿ ≥ 2，n ≥ 14.21，故最少 15 年。 |
| 7 | 15 年 | 80 → 40 → 20 → 10，共三次半减，5 × 3 = 15 年。 |
| 8 | x = 100 或 x = −100 | x² = 10⁴ = 10000，故 x = 100 或 −100。 |
| 9 | x ≈ 1.710 | 两边取对数得 x log 3 = (x + 1) log 2，故 x = log 2 ÷ (log 3 − log 2) ≈ 1.710。 |
| 10 | 不能把指数移走；正确答案 x ≈ 1.585 | 要用对数：x = log₃ ÷ log₂ ≈ 1.585；3/2 只是把 3 除以底数 2，并无根据。 |
04 做完之后怎样跟进
- 对完答案，只重做错的那几题，并在错题旁写出错在哪一步（公式、单位还是抄错数）。
- 同一题隔两日再做一次；两次都对才可以移到下一份练习。
- 家长只需看答案栏与解说栏，不必逐题讲解。
本卷题目与答案由 TutorZone 团队原创编写，并非任何学校、出版社或考试局的试题；数值与答案均以程式核算。