DSE 數學｜對數與指數方程備課指引（導師用）｜對數律、取對數解方程與四個常見錯誤

2026-11-05

學生識背 log 等於指數的相反，但一見 2 的 3x 減 1 次方等於 32 就逐個次方試，或者把 log 括號內的加法當成 log 相加。這一堂用三條對數律把方程降級，再示範「兩邊取對數」這個通用動作。

本堂目標　學生能夠：①用對數律把 log 32 拆成 log 8 加 log 4（5 等於 5），並講出為何 log 括號內相加不等於兩個 log 相加；②由 2 的 3x 減 1 次方等於 32 取對數，得出 3x 減 1 等於 5，即 x 等於 2；③用 P 等於 8000 乘 2 的 t 除 6 次方，算出 18 年後是 3 個倍增期、64000；並用同一條式子反求折舊到一半所需 5.42 年。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
指數律	a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等於什麼？	a 的 m 加 n 次方，同底相乘指數相加
指數與對數互換	log 以 2 為底 8 等於什麼？	3，因為 2 的 3 次方等於 8
計算機操作	log 與 ln 鍵分別以什麼為底？	log 以 10 為底、ln 以 e 為底，能按出 log 32 除 log 2

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–6 分鐘	先備快檢	抽問指數律、對數定義、計算機按鍵	口頭答，答錯的寫在黑板角落
6–22 分鐘	第一幕：對數律	由 2 的 3 次方乘 2 的 2 次方推到 log 相加	自行驗證三條律
22–38 分鐘	第二幕：取對數解方程	示範 2 的 3x 減 1 次方等於 32 全過程	跟做兩題並核對
38–50 分鐘	第三幕：增長與折舊	由倍增期 6 年算到 18 年，再反求折舊時間	寫出未知數在指數位置的方程
50–56 分鐘	題型演練	四類題各一，限時六分鐘	獨立完成後交換批改
56–60 分鐘	離場檢查	收回三題即場對答	閉書作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：第一幕：對數律不是三條新公式，是將指數律倒過來寫

先寫指數律：同底相乘指數相加。再把同一件事用對數講一次，就是 log 積等於 log 和。用數字驗：2 的 3 次方是 8、2 的 2 次方是 4，相乘得 32；右邊 log 8 加 log 4 等於 3 加 2 等於 5，而 log 32 也是 5，兩邊對得上。
三條律一次講齊：log 積等於和、log 商等於差、log 次方把指數搬前面。第三條最有用，因為它把「未知數在指數位置」變成「未知數在係數位置」。要學生即刻用一次：log 9 等於 2 log 3，因為 9 是 3 的平方。
然後講最容易錯的一點：log 括號內相加不等於 log 相加。log (8 加 4) 是 log 12，而 log 8 加 log 4 是 log 32，兩個答案不同。叫學生用計算機各按一次，看見 1.079 對 1.505，這個落差比講十次都有效。
最後補換底公式：log 以 a 為底 b 等於 log b 除 log a，所以 log 以 2 為底 32 可以按成 log 32 除 log 2。這一招令所有題目都能用計算機驗算，學生就不再靠死記。常見誤解框：log 沒有分配律，見到 log (a 加 b) 就拆，一定錯。

要求學生複述：積變和、商變差、次方搬前面，括號內的加減不可以拆。

第二幕：第二幕：未知數在指數上，就只有一個動作——兩邊取對數

寫出 2 的 3x 減 1 次方等於 32。學生會逐個試 x 等於 1、2、3，浪費時間又容易漏。正確做法：兩邊取同一個底的對數，右邊 32 是 2 的 5 次方，所以左邊的指數一定等於右邊的指數，得 3x 減 1 等於 5，解出 x 等於 2。代回檢查：2 的 5 次方是 32，對得上。
再示範右邊不是整數次方的情況：3 的 x 次方等於 20。兩邊取 log，得 x log 3 等於 log 20，所以 x 等於 log 20 除 log 3，約 2.73。強調答案不一定是整數，香港學生最怕小數答案，其實小數才正常。
第三種變化是底不同：2 的 x 次方等於 5 的 x 減 1 次方。兩邊取 log 後要把 x 的項歸邊：x log 2 等於 (x 減 1) log 5，展開後把 x 集中，這一步是所有難題的關鍵，要學生自己動手一次，不要只看。
常見誤解框：取對數時只取一邊。等號兩邊必須同時取，否則等式不再成立。

要求學生複述：兩邊同時取對數、指數搬前面、x 的項歸邊。

第三幕：第三幕：增長與折舊共用一條式，只是指數的正負不同

由倍增開始：某細菌每 6 小時數目加倍，起初 8000 隻。18 小時是 3 個倍增期，所以數目是 8000 乘 2 的 3 次方，即 64000 隻。要學生寫成 P 等於 P0 乘 2 的 t 除 T 次方，講清 t 除 T 就是「有幾個倍增期」。
再反過來問：幾時才會到 64000 隻？這條是正向題，答案是 18 小時。真正要考的是「幾時到某個中間值」，例如幾時到 20000 隻，就要解 2 的 t 除 6 次方等於 2.5，取對數得 t 約 7.97 小時。這一步把第二幕的技術用在實際情境。
折舊是同一條式但底小於一：機器值 20000 元，每年跌 12%，即每年乘 0.88。5 年後是 10555 元。問「幾時跌到一半」，就要解 0.88 的 t 次方等於 0.5，得 t 等於 ln 0.5 除 ln 0.88，約 5.42 年。強調這裡用 ln 或 log 都可以，只要兩邊同底。再加一個複利對照：5000 元以年利率 4% 滾到 6000 元需約 4.65 年，同樣是取對數，只是底由 2 變成 1.04。
收尾問一題「為何折舊唔可以用除以 12%」，答案是複利式衰減每年基數不同，這條問題可以分辨學生是否真的明白指數增長。

要求學生複述：正向乘次方、反求取對數、底大於一是增長底小於一是衰減。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
對數律化簡	把 log 32 寫成兩個 log 相加	① 找 32 的因數 ② 用積變和 ③ 核對數值	log 8 加 log 4，即 3 加 2 等於 5
解指數方程	解 2 的 3x 減 1 次方等於 32	① 右邊寫成同底 ② 指數相等 ③ 解一次方程	3x 減 1 等於 5，x 等於 2
不同底方程	解 3 的 x 次方等於 20	① 兩邊取 log ② 指數搬前 ③ 除係數	x 等於 log 20 除 log 3，約 2.73
增長與折舊	20000 元每年乘 0.88，幾時跌到一半	① 寫出方程 ② 兩邊取對數 ③ 解 t 並寫單位	t 約 5.42 年

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：增長題的答案一定要大過起始值（64000 大於 8000），折舊題一定要細過起始值（10555 細過 20000）；方向錯就是底寫錯，增長用大於一的底、衰減用小於一的底。倍增期數必須是無單位數（3），若寫成「三年」就是把期數與時間混淆。對數值檢查：log 32 一定在 1 與 2 之間？不對，以 10 為底是 1.505，以 2 為底才是 5，所以先確認底是什麼，再判斷答案範圍。折舊半衰期一定長過年利率倒數的直觀值，若算出 2 年就代表把 12% 當成每年減 0.12 元而不是乘 0.88。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
化簡 log 8 加 log 4，並用 log 32 驗證。	等於 log 32，即 5	有無用積變和而不是拆括號
解 2 的 3x 減 1 次方等於 32。	x 等於 2	有無兩邊取同底對數
機器值 20000 元，每年乘 0.88，問 5 年後的值與跌到一半所需年數。	5 年後 10555 元；跌到一半約 5.42 年	有無寫出未知數在指數的方程

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把 log 括號內加法拆開	寫成 log (8 加 4) 等於 log 8 加 log 4	log 冇分配律，括號內相加唔可以拆；用計算機按一次就見到 1.079 同 1.505 唔同。
只取一邊對數	左邊取 log 右邊唔取	等號兩邊要同時取同一個底嘅對數，唔然等式就唔再等。
增長用除法	8000 直接乘 3 得答案	倍增係乘 2 的次方，3 個倍增期係乘 8，唔係乘 3。
折舊當成每年減定額	20000 每年減 12% 寫成每年減 2400 元	百分比折舊係每年乘零點八八，基數越嚟越細，唔係每年減同一個數。

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

本章重做　重做練習三題（第 1–4 題），每題寫明取對數的步驟
數學科章節索引　揀「指數與對數」一章，做卷內第 2 題並用計算機驗算答案
自製對照表　把增長、衰減、複利三條式並列，各寫一個真實例子與單位

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
log 8 加 log 4 等於什麼	log 32，即 5	答 log 12 即重講第一幕
2 的 3x 減 1 次方等於 32，x 是多少	2	答錯即重講第二幕
每年乘 0.88，跌到一半要幾多年	約 5.42 年	答 4 年即重講第三幕

09　導師常問

為何一定要取對數？

因為對數把指數位置的未知數搬到係數位置，之後就是普通一次方程。

用 log 與用 ln 有分別嗎？

同一條式兩邊同底就可以，答案一樣，只是中間數字不同。

增長率可以直接除嗎？

只有極短時間的近似可以，正確做法是指數式，長年期誤差會很大。

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