DSE 数学｜对数与指数方程备课指引（导师用）｜对数律、取对数解方程与四个常见错误

2026-11-05

学生识背 log 等于指数的相反，但一见 2 的 3x 减 1 次方等于 32 就逐个次方试，或者把 log 括号内的加法当成 log 相加。这一堂用三条对数律把方程降级，再示范“两边取对数”这个通用动作。

本堂目标　学生能够：①用对数律把 log 32 拆成 log 8 加 log 4（5 等于 5），并讲出为何 log 括号内相加不等于两个 log 相加；②由 2 的 3x 减 1 次方等于 32 取对数，得出 3x 减 1 等于 5，即 x 等于 2；③用 P 等于 8000 乘 2 的 t 除 6 次方，算出 18 年后是 3 个倍增期、64000；并用同一条式子反求折旧到一半所需 5.42 年。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
指数律	a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等于什么？	a 的 m 加 n 次方，同底相乘指数相加
指数与对数互换	log 以 2 为底 8 等于什么？	3，因为 2 的 3 次方等于 8
计算机操作	log 与 ln 键分别以什么为底？	log 以 10 为底、ln 以 e 为底，能按出 log 32 除 log 2

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–6 分钟	先备快检	抽问指数律、对数定义、计算机按键	口头答，答错的写在黑板角落
6–22 分钟	第一幕：对数律	由 2 的 3 次方乘 2 的 2 次方推到 log 相加	自行验证三条律
22–38 分钟	第二幕：取对数解方程	示范 2 的 3x 减 1 次方等于 32 全过程	跟做两题并核对
38–50 分钟	第三幕：增长与折旧	由倍增期 6 年算到 18 年，再反求折旧时间	写出未知数在指数位置的方程
50–56 分钟	题型演练	四类题各一，限时六分钟	独立完成后交换批改
56–60 分钟	离场检查	收回三题即场对答	闭书作答

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：第一幕：对数律不是三条新公式，是将指数律倒过来写

先写指数律：同底相乘指数相加。再把同一件事用对数讲一次，就是 log 积等于 log 和。用数字验：2 的 3 次方是 8、2 的 2 次方是 4，相乘得 32；右边 log 8 加 log 4 等于 3 加 2 等于 5，而 log 32 也是 5，两边对得上。
三条律一次讲齐：log 积等于和、log 商等于差、log 次方把指数搬前面。第三条最有用，因为它把“未知数在指数位置”变成“未知数在系数位置”。要学生即刻用一次：log 9 等于 2 log 3，因为 9 是 3 的平方。
然后讲最容易错的一点：log 括号内相加不等于 log 相加。log (8 加 4) 是 log 12，而 log 8 加 log 4 是 log 32，两个答案不同。叫学生用计算机各按一次，看见 1.079 对 1.505，这个落差比讲十次都有效。
最后补换底公式：log 以 a 为底 b 等于 log b 除 log a，所以 log 以 2 为底 32 可以按成 log 32 除 log 2。这一招令所有题目都能用计算机验算，学生就不再靠死记。常见误解框：log 没有分配律，见到 log (a 加 b) 就拆，一定错。

要求学生复述：积变和、商变差、次方搬前面，括号内的加减不可以拆。

第二幕：第二幕：未知数在指数上，就只有一个动作——两边取对数

写出 2 的 3x 减 1 次方等于 32。学生会逐个试 x 等于 1、2、3，浪费时间又容易漏。正确做法：两边取同一个底的对数，右边 32 是 2 的 5 次方，所以左边的指数一定等于右边的指数，得 3x 减 1 等于 5，解出 x 等于 2。代回检查：2 的 5 次方是 32，对得上。
再示范右边不是整数次方的情况：3 的 x 次方等于 20。两边取 log，得 x log 3 等于 log 20，所以 x 等于 log 20 除 log 3，约 2.73。强调答案不一定是整数，香港学生最怕小数答案，其实小数才正常。
第三种变化是底不同：2 的 x 次方等于 5 的 x 减 1 次方。两边取 log 后要把 x 的项归边：x log 2 等于 (x 减 1) log 5，展开后把 x 集中，这一步是所有难题的关键，要学生自己动手一次，不要只看。
常见误解框：取对数时只取一边。等号两边必须同时取，否则等式不再成立。

要求学生复述：两边同时取对数、指数搬前面、x 的项归边。

第三幕：第三幕：增长与折旧共用一条式，只是指数的正负不同

由倍增开始：某细菌每 6 小时数目加倍，起初 8000 只。18 小时是 3 个倍增期，所以数目是 8000 乘 2 的 3 次方，即 64000 只。要学生写成 P 等于 P0 乘 2 的 t 除 T 次方，讲清 t 除 T 就是“有几个倍增期”。
再反过来问：几时才会到 64000 只？这条是正向题，答案是 18 小时。真正要考的是“几时到某个中间值”，例如几时到 20000 只，就要解 2 的 t 除 6 次方等于 2.5，取对数得 t 约 7.97 小时。这一步把第二幕的技术用在实际情境。
折旧是同一条式但底小于一：机器值 20000 元，每年跌 12%，即每年乘 0.88。5 年后是 10555 元。问“几时跌到一半”，就要解 0.88 的 t 次方等于 0.5，得 t 等于 ln 0.5 除 ln 0.88，约 5.42 年。强调这里用 ln 或 log 都可以，只要两边同底。再加一个复利对照：5000 元以年利率 4% 滚到 6000 元需约 4.65 年，同样是取对数，只是底由 2 变成 1.04。
收尾问一题“为何折旧不可以用除以 12%”，答案是复利式衰减每年基数不同，这条问题可以分辨学生是否真的明白指数增长。

要求学生复述：正向乘次方、反求取对数、底大于一是增长底小于一是衰减。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
对数律化简	把 log 32 写成两个 log 相加	① 找 32 的因数 ② 用积变和 ③ 核对数值	log 8 加 log 4，即 3 加 2 等于 5
解指数方程	解 2 的 3x 减 1 次方等于 32	① 右边写成同底 ② 指数相等 ③ 解一次方程	3x 减 1 等于 5，x 等于 2
不同底方程	解 3 的 x 次方等于 20	① 两边取 log ② 指数搬前 ③ 除系数	x 等于 log 20 除 log 3，约 2.73
增长与折旧	20000 元每年乘 0.88，几时跌到一半	① 写出方程 ② 两边取对数 ③ 解 t 并写单位	t 约 5.42 年

合理性检查（一定要教）：合理性检查：增长题的答案一定要大过起始值（64000 大于 8000），折旧题一定要细过起始值（10555 细过 20000）；方向错就是底写错，增长用大于一的底、衰减用小于一的底。倍增期数必须是无单位数（3），若写成“三年”就是把期数与时间混淆。对数值检查：log 32 一定在 1 与 2 之间？不对，以 10 为底是 1.505，以 2 为底才是 5，所以先确认底是什么，再判断答案范围。折旧半衰期一定长过年利率倒数的直观值，若算出 2 年就代表把 12% 当成每年减 0.12 元而不是乘 0.88。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
化简 log 8 加 log 4，并用 log 32 验证。	等于 log 32，即 5	有无用积变和而不是拆括号
解 2 的 3x 减 1 次方等于 32。	x 等于 2	有无两边取同底对数
机器值 20000 元，每年乘 0.88，问 5 年后的值与跌到一半所需年数。	5 年后 10555 元；跌到一半约 5.42 年	有无写出未知数在指数的方程

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
把 log 括号内加法拆开	写成 log (8 加 4) 等于 log 8 加 log 4	log 没有分配律，括号内相加不可以拆；用计算机按一次就见到 1.079 同 1.505 不同。
只取一边对数	左边取 log 右边不取	等号两边要同时取同一个底的对数，不然等式就不再等。
增长用除法	8000 直接乘 3 得答案	倍增系乘 2 的次方，3 个倍增期系乘 8，不系乘 3。
折旧当成每年减定额	20000 每年减 12% 写成每年减 2400 元	百分比折旧系每年乘零点八八，基数越嚟越细，不系每年减同一个数。

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

本章重做　重做练习三题（第 1–4 题），每题写明取对数的步骤
数学科章节索引　拣“指数与对数”一章，做卷内第 2 题并用计算机验算答案
自制对照表　把增长、衰减、复利三条式并列，各写一个真实例子与单位

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
log 8 加 log 4 等于什么	log 32，即 5	答 log 12 即重讲第一幕
2 的 3x 减 1 次方等于 32，x 是多少	2	答错即重讲第二幕
每年乘 0.88，跌到一半要几多年	约 5.42 年	答 4 年即重讲第三幕

09　导师常问

为何一定要取对数？

因为对数把指数位置的未知数搬到系数位置，之后就是普通一次方程。

用 log 与用 ln 有分别吗？

同一条式两边同底就可以，答案一样，只是中间数字不同。

增长率可以直接除吗？

只有极短时间的近似可以，正确做法是指数式，长年期误差会很大。

立即免费找导师导师登记 →

本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。