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DSE 物理｜圆周运动与万有引力 备课指引（导师用）｜由向心力讲到卫星周期
学生知道 F = mv²/r，但一问“向心力由边个力提供”就空白；亦常常把“离心力”当成真实存在的力。这一堂用三个具体情境把向心力拉回真实的力。
本堂目标 学生能够：① 用 ω = 2π/T、v = ωr 算出半径 0.5 m、周期 1.2 s 的速率 2.62 m/s；② 用 a = v²/r 算出向心加速度 13.7 m/s²，并指出它指向圆心；③ 讲出卫星轨道上“万有引力 = 向心力”，算出 r = 7.0 × 10⁶ m 的卫星速率 7.55 km/s、周期 97 分钟；④ 解释同步卫星为何必须在赤道上方约 3.6 × 10⁷ m，且周期等于地球自转。
01 先备知识（开课前 3 分钟快检）
以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：
| 技能 | 快检题 | 过关标准 |
|---|---|---|
| 角速度 | T = 2 s 时 ω 是多少？ | π ≈ 3.14 rad/s |
| 平方根运算 | √(3.986 × 10¹⁴ ÷ 7.0 × 10⁶) 的量级？ | 约 7.5 × 10³ |
| 牛顿万有引力 | F = GMm/r² 中 r 由边度量？ | 两质心之间距离 |
| 向量方向 | 等速率圆周运动有无加速度？ | 有，方向指向圆心 |
02 课堂流程（60 分钟）
| 时间 | 环节 | 导师做什么 | 学生做什么 |
|---|---|---|---|
| 0–8 分 | 现象开场 | 用手机慢镜拍硬币在转盘边缘，问为何会飞出 | 讲出“没有力拉住”的直线趋势 |
| 8–20 分 | 角速度与线速度 | 由 T 算 ω 与 v，强调 v 与半径成正比 | 跟算一次并标单位 |
| 20–32 分 | 向心加速度 | 用 a = v²/r 算 13.7 m/s²，与 g 比较 | 讲出加速度方向与速度垂直 |
| 32–44 分 | 卫星轨道 | 由 GMm/r² = mv²/r 推 v = √(GM/r) | 自行推一次，不用抄 |
| 44–54 分 | 同步卫星 | 由 T = 24 小时反推半径，对比地球半径 | 指出为何必须在赤道 |
| 54–60 分 | 离场检查 | 三题快问 | 口头或书面作答 |
03 讲解脚本（照着说就可以）
第一幕：向心力不是新一种力，是“现有合力指向圆心”
绳波、月球绕地、车过弯，向心力分别由张力、万有引力、摩擦力提供。写 F = mv²/r 之前，先问“边个力指向圆心？”答错这一步，之后全题都错。所谓“离心力”只在旋转参考系出现，DSE 用惯性系，不存在这个力。
叫学生指出三个情境各自的向心力来源，写在图上。
第二幕：由万有引力等于向心力，推出卫星速率与周期
GMm/r² = mv²/r，约去 m 与一个 r，得 v = √(GM/r)。r = 7.0e+06 m 时 v = 7.55 km/s，T = 2πr/v = 5829 s ≈ 97 分钟。轨道半径越大，v 越小、T 越长，这两件事要一齐讲，否则学生会以为“越高越快”。
要学生比较两个半径的 v 与 T，自行讲出反向关系。
第三幕：同步卫星三个条件由一条式决定
周期固定 24 小时（恒星日 86 164 s），由 T = 2π√(r³/GM) 反推 r ≈ 4.22 × 10⁷ m，速率约 3.07 km/s。轨道必须在赤道平面，否则卫星相对地面会南北漂移。三个条件（周期、平面、高度）不是背，是由“相对地面静止”推出来。
问：为何香港不能有同步卫星正上方？引导到纬度与赤道平面。
04 必教题型与步骤
| 题型 | 例子 | 步骤 | 答案 |
|---|---|---|---|
| 由周期求速率 | r = 0.5 m、T = 1.2 s | ① ω = 2π/T ② v = ωr ③ 单位 m/s | 2.62 m/s |
| 向心加速度 | 同上 | ① a = v²/r 或 ω²r ② 方向指向圆心 | 13.7 m/s² |
| 卫星速率 | r = 7.0e+06 m | ① GMm/r² = mv²/r ② v = √(GM/r) ③ 换 km/s | 7.55 km/s |
| 卫星周期 | 同上 | ① T = 2πr/v ② 换分钟 ③ 检查是否大于 90 分钟 | 97 分钟 |
合理性检查（一定要教）：低轨卫星周期 97 分钟，贴近常见的 90 分钟，合理；同步卫星 24.0 小时，接近 24 小时，合理。向心加速度 13.7 m/s² 大于 g，所以硬币在转盘边缘容易飞出。所有轨道半径都要由地心起量，不是由地面起量。
05 独立练习三题
| 题目 | 答案 | 想观察什么 |
|---|---|---|
| r = 2 m、v = 6 m/s，向心加速度？ | 18 m/s² | 有无用 v²/r 而非 v/r |
| 同步卫星周期是多少秒？ | 86 164 s | 是否用恒星日而非 24 小时正午 |
| r 加倍，卫星速率变几多倍？ | 1/√2 ≈ 0.707 倍 | 有无把 v ∝ 1/√r 讲成 v ∝ 1/r |
06 学生常见错误与纠正句
| 错误 | 学生通常这样写 | 导师这样说 |
|---|---|---|
| 把离心力当真 | “卫星受到离心力平衡万有引力” | “惯性系没有离心力。卫星只受万有引力，而呢个力就系向心力。” |
| 半径由地面起量 | “高度 600 km，所以 r = 600 km” | “r 要由地心量起：地球半径 6 400 km 要加上去。” |
| 以为轨道越高越快 | “越高离地球越远，应该转得越快” | “v = √(GM/r)，r 越大 v 越小；但周期越长。速度同周期要分开讲。” |
| 向心加速度方向画错 | “加速度同速度同方向” | “等速率圆周运动速度大小不变，加速度只改方向，所以指向圆心、与 v 垂直。” |
07 家课建议（直接指到练习卷题号）
- 物理科章节索引 先看“力与运动”，再做卷内第 1、3 题
- 医疗物理（圆周运动应用） 卷内第 2 题用到向心加速度
- 电与电路 卷内第 6 题比较带电粒子在磁场中的圆周运动
08 离场检查（最后 5 分钟）
| 题目 | 答案 | 判定 |
|---|---|---|
| ω = 2π/1.2 是多少？ | 5.24 rad/s | 错：忘记 2π |
| r = 0.5 m、v = 2.62 m/s 的 a | 13.7 m/s² | 错：用 v/r |
| 低轨卫星周期约几分钟？ | 97 分钟 | 错：答 24 小时 |
| 同步卫星轨道平面 | 赤道平面 | 错：答任何平面 |
09 导师常问
GM 要背吗？
DSE 通常给 G = 6.67 × 10⁻¹¹ 与地球质量，或直接给 GM；记住 g = GM/R² 可自行推。
为何同步卫星不能在南极上空？
向心力必须指向地心且在赤道平面，否则无法相对地面静止。
圆周运动题何时用能量？
竖直圆周（有重力位能变化）要加能量守恒；水平圆周通常只用向心力。
本页为 TutorZone 导师备课指引，内容由 TutorZone 团队编写；题目与流程为原创，并非任何学校或出版社的教材。
