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IGCSE 數學 0580 Paper 4（Extended）模擬卷（第二份・12 題・100 分・105 分鐘）
練習卷 · IGCSE 數學 0580
IGCSE 數學 0580 Paper 4（Extended）模擬卷：12 題、100 分、限時 105 分鐘，涵蓋百分數與比、標準形式與界限、二次方程、數列、複利息與反比例、多邊形與圓形定理、餘弦定理與三角形面積、立體圖形表面面積與體積、統計與四分位距、概率樹、座標幾何、函數與行程圖。全部題目原創，附逐步答案與評分要點。
卷面資料 年級：中四至中五（IGCSE Extended） ｜ 科目：數學 ｜ 時限：105 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：12
甲部（第 1 至 6 題・50 分）
全部題目均須作答。本卷可用計算機，惟計算機不得附有圖表顯示或符號運算功能。計算題須展示步驟，除另有指明外，數值答案須準確至三位有效數字，並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 一件外套的標價為 $560。店舖進行促銷，全部貨品減價 15%。 (a) 求外套的售價。 (b) 阿明與姊姊合資購買這件外套，兩人所付金額之比為 3 : 4。求各人付了多少錢。 |
(a) 售價 ＝ 560 × (1 − 0.15) ＝ $476.00。（4 分） (b) 每份金額 ＝ 476.00 ÷ 7 ＝ $68.00；阿明付 3 份 ＝ $204.00，姊姊付 4 份 ＝ $272.00。（4 分） |
| 2 | (a) 把 0.00046 寫成標準形式 a × 10ⁿ，其中 1 ≤ a 小於 10。 (b) 計算 (3.2 × 10⁵) × (4.5 × 10⁻³)，並以標準形式表示答案。 (c) x ＝ 6.3（準確至一位小數），y ＝ 2.8（準確至一位小數）。求 x ÷ y 的最大可能值，準確至三位有效數字。 |
(a) 0.00046 ＝ 4.6 × 10⁻⁴。（2 分） (b) 3.2 × 4.5 ＝ 14.4，10⁵ × 10⁻³ ＝ 10²，故答案 ＝ 1.44 × 10³（＝ 1440）。（3 分） (c) x 的上限 ＝ 6.35，y 的下限 ＝ 2.75，最大值 ＝ 6.35 ÷ 2.75 ＝ 2.309。（3 分） |
| 3 | (a) 展開 (3x − 2)(x + 4)。 (b) 因式分解 2x² + 5x − 3。 (c) 由此解方程 2x² + 5x − 3 ＝ 0。 |
(a) (3x − 2)(x + 4) ＝ 3x² + 12x − 2x − 8 ＝ 3x² + 10x − 8。（2 分） (b) 2x² + 5x − 3 ＝ (2x − 1)(x + 3)。（3 分） (c) 2x − 1 ＝ 0 或 x + 3 ＝ 0，故 x ＝ 0.5 或 x ＝ -3。（3 分） |
| 4 | 某數列的首項為 7，其後每一項比前一項大 4。 (a) 寫出該數列的首四項。 (b) 求第 20 項。 (c) 求首 20 項之和。 |
(a) 7, 11, 15, 19。（2 分） (b) 第 n 項 ＝ 7 + (n − 1) × 4；第 20 項 ＝ 7 + 19 × 4 ＝ 83。（3 分） (c) 總和 ＝ 20 ÷ 2 × (7 + 83) ＝ 900。（3 分） |
| 5 | (a) 陳先生把 $4 000 存入銀行，年利率 3.5%，利息每年複利計算一次。求 4 年後的本利和，準確至最接近的分。 (b) 在 4 年內共得多少利息？ (c) 某變量 p 與 q² 成反比。當 q ＝ 3 時，p ＝ 8。求當 q ＝ 4 時 p 的值。 |
(a) 本利和 ＝ 4000 × (1 + 0.035)⁴ ＝ $4590.09。（4 分） (b) 利息 ＝ 4590.09 − 4000 ＝ $590.09。（2 分） (c) p q² ＝ 常數，故 k ＝ 8 × 9 ＝ 72；q ＝ 4 時 p ＝ 72 ÷ 16 ＝ 4.5。（3 分） |
| 6 | (a) 求正 12 邊形的內角、外角及內角和。 (b) 在一個圓中，AB 為直徑，C 為圓上一點。已知 ∠ABC ＝ 35°，求 ∠BAC。 (c) ABCD 為圓內接四邊形，∠ABC ＝ 108°。求 ∠ADC，並寫出所用定理。 |
(a) 內角和 ＝ (12 − 2) × 180° ＝ 1800°；每個內角 ＝ 1800 ÷ 12 ＝ 150°；每個外角 ＝ 360° ÷ 12 ＝ 30°。（3 分） (b) 半圓上的圓周角為 90°，故 ∠ACB ＝ 90°；∠BAC ＝ 180° − 90° − 35° ＝ 55°。（3 分） (c) 圓內接四邊形對角互補，∠ADC ＝ 180° − 108° ＝ 72°。（3 分） |
乙部（第 7 至 12 題・50 分）
全部題目均須作答。本卷可用計算機，惟計算機不得附有圖表顯示或符號運算功能。計算題須展示步驟，除另有指明外，數值答案須準確至三位有效數字，並在答案末標明單位。所有數據為示例，並非任何考試機構的歷屆試題。
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 7 | 在三角形 ABC 中，AB ＝ 7 cm，AC ＝ 9 cm，∠BAC ＝ 62°。 (a) 求 BC 的長度，準確至三位有效數字。 (b) 求三角形 ABC 的面積，準確至三位有效數字。 |
(a) 餘弦定理：BC² ＝ 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos 62° ＝ 49 + 81 − 126 × 0.4695 ＝ 70.847，故 BC ＝ 8.417 cm。（5 分） (b) 面積 ＝ ½ × 7 × 9 × sin 62° ＝ ½ × 63 × 0.8829 ＝ 27.81 cm²。（4 分） |
| 8 | 一個實心圓柱的半徑為 6 cm，高為 10 cm。 (a) 求圓柱的體積，準確至三位有效數字。 (b) 求圓柱的總表面面積，準確至三位有效數字。 (c) 若把圓柱熔化並重鑄成半徑相同的球體，該球能否完全放入圓柱之內？須說明理由。 |
(a) 體積 ＝ π × 6² × 10 ＝ 1130.97 cm³ ≈ 1.13e+03 cm³。（3 分） (b) 總表面面積 ＝ 2π6² + 2π6(10) ＝ 226.19 + 376.99 ＝ 603.19 cm² ≈ 603 cm²。（4 分） (c) 球半徑 r 滿足 (4/3)πr³ ＝ 1130.97，得 r ≈ 6.46 cm，大於 6 cm，故球不能完全放入圓柱之內。（2 分） |
| 9 | 以下為 11 名學生每月閱讀課外書的數目（已按大小排列）： 12, 15, 15, 18, 20, 22, 22, 25, 28, 30, 34 (a) 求平均數、中位數及眾數。 (b) 求下四分位數、上四分位數及四分位距。 (c) 若每名學生的閱讀量都增加 2 本，寫出新的平均數及新的四分位距。 |
(a) 總數 ＝ 241，平均數 ＝ 241 ÷ 11 ＝ 21.91 本；中位數（第 6 個）＝ 22 本；眾數 ＝ 15 及 22 本。（4 分） (b) 下四分位數 ＝ 15，上四分位數 ＝ 28，四分位距 ＝ 28 − 15 ＝ 13。（3 分） (c) 新平均數 ＝ 21.91 + 2 ＝ 23.91 本；四分位距不變，仍為 13。（2 分） |
| 10 | 一個袋內有 5 個紅球及 3 個藍球。小明隨機抽出一個球，記錄顏色後不放回，再抽出第二個球。 (a) 畫出樹形圖，並在每條分枝標明概率。 (b) 求兩個球都是紅色的概率。 (c) 求兩個球顏色不同的概率。 (d) 求至少有一個紅球的概率。 |
(a) 第一次：紅 5/8、藍 3/8；第二次：紅球剩 4 個、藍球保持 3 個，總數 7，故各分枝為 4/7、3/7（或 5/7、2/7）。（2 分） (b) P(紅, 紅) ＝ 5/8 × 4/7 ＝ 0.357。（2 分） (c) P(不同色) ＝ 5/8 × 3/7 + 3/8 × 5/7 ＝ 0.536。（3 分） (d) P(至少一紅) ＝ 1 − P(藍, 藍) ＝ 1 − 3/8 × 2/7 ＝ 0.893。（2 分） |
| 11 | 已知 A(1, 2) 及 B(7, 10) 兩點。 (a) 求 AB 的中點坐標。 (b) 求 AB 的斜率。 (c) 求通過 A 且與 AB 垂直的直線 L 的方程，答案以 y ＝ mx + c 表示。 (d) L 與直線 y ＝ 2x − 3 相交於 P，求 P 的坐標，準確至三位有效數字。 |
(a) 中點 ＝ ((1+7)/2, (2+10)/2) ＝ (4, 6)。（2 分） (b) 斜率 ＝ (10 − 2) ÷ (7 − 1) ＝ 1.3333。（2 分） (c) 垂直斜率 ＝ −1 ÷ 1.3333 ＝ -0.75；y − 2 ＝ -0.75(x − 1)，即 y ＝ -0.75x + 2.75。（2 分） (d) 解 -0.75x + 2.75 ＝ 2x − 3，得 x ＝ 2.0909、y ＝ 1.1818，故 P ＝ (2.09, 1.18)。（2 分） |
| 12 | 設 f(x) ＝ 2x − 3 及 g(x) ＝ x² − 4。 (a) 求 f⁻¹(x)。 (b) 求 fg(3) 及 gf(3)。 (c) 一輛車由靜止加速 10 秒至 12 m/s，再以等速行駛 15 秒，最後 5 秒均勻減速至靜止。求全程行駛的距離。 |
(a) 令 y ＝ 2x − 3，則 x ＝ (y + 3) ÷ 2，故 f⁻¹(x) ＝ (x + 3) ÷ 2。（2 分） (b) g(3) ＝ 9 − 4 ＝ 5，f(5) ＝ 7，故 fg(3) ＝ 7；f(3) ＝ 3，g(3) ＝ 5，故 gf(3) ＝ 5。（2 分） (c) 距離 ＝ ½ × 10 × 12 + 15 × 12 + ½ × 5 × 12 ＝ 60 + 180 + 30 ＝ 270.0 m。（2 分） |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
