中五數學練習卷：二次方程、指數對數、數列、圓形性質、概率統計與多項式

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本卷為中五數學必修部分練習卷，涵蓋二次方程的判別式與根之和積、指數與對數方程、等差與等比數列的通項與求和、圓形性質的弦長與切線、概率與統計的平均數與方差，以及多項式的餘式定理與因式分解。所有計算須列出公式與步驟，答案須附單位及三位有效數字。

卷面資料　年級：中五　｜　科目：中五數學　｜　時限：60 分鐘　｜　總分：100 分　｜　題數：24

第一部分：二次方程（16 分）

本部分共四題，須寫出所用公式或定理，並展示解題步驟。

#	題目	答案與評分要點
1	解方程 x² − 5x + 6 = 0，並寫出判別式的值。	判別式 Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1，因 Δ 為正數，故有兩個相異實根。由求根公式 x = (5 ± √1) / 2，得 x = 3 或 x = 2。驗算：將 x = 3 代入，得 9 − 15 + 6 = 0。
2	求 k 的值，使方程 2x² + kx + 8 = 0 有重根。	重根的條件為判別式等於零，即 k² − 4 × 2 × 8 = 0，故 k² = 64。因此 k = 8 或 k = −8，兩個值都令方程有重根。
3	設 α、β 為方程 3x² − 7x − 2 = 0 的兩個根，求 α + β 與 αβ。	由根與係數的公式，α + β = −b / a = 7/3，αβ = c / a = -2/3。兩者都可用求根公式核對：根為 (7 ± √73) / 6，相加得 7/3。
4	求一個以 3 與 −5 為根、且 x² 係數為 1 的二次方程。	根之和 = 3 + (−5) = -2，根的積 = 3 × (−5) = -15。方程為 x² −（根之和）x +（根的積）= 0，即 x² + 2x − 15 = 0。

本部分共四題，對數一律以 10 為底時會註明；答案取三位有效數字。

#	題目	答案與評分要點
5	求 log₂ 32 與 log₃ (1/9) 的值。	因 2 的 5 次方等於 32，故 log₂ 32 = 5。因 3 的 −2 次方等於 1/9，故 log₃ (1/9) = -2。
6	解方程 2^(x+1) = 32。	兩邊取以 2 為底的對數，得 x + 1 = log₂ 32 = 5，故 x = 4。驗算：2 的 5 次方等於 32，符合原方程。
7	解方程 3^(2x) = 27。	因 27 = 3 的 3 次方，故 2x = 3，即 x = 1.5。驗算：2 × 1.5 = 3，代回指數成立。
8	化簡 log 8 + log 125，並寫出所用對數律。	用對數相加律 log m + log n = log (mn)，得 log 8 + log 125 = log 1000 = 3。因 10 的 3 次方等於 1000，故結果為 3。

本部分共四題，等差數列與等比數列均須寫出通項公式再代入。

本部分共四題，須畫出或描述所用定理，並寫出計算步驟。

#	題目	答案與評分要點
13	圓的半徑為 13 cm，一條弦與圓心的距離為 5 cm，求該弦的長度。	由圓心向弦作垂線，垂足平分該弦。設半弦長為 h，由畢氏定理 h² = 13² − 5² = 144，故 h = 12 cm。弦長 = 2 × 12 = 24 cm。
14	圓的半徑為 8 cm，外部點 P 與圓心相距 17 cm，求由 P 引出的切線長度。	切線與半徑互相垂直，故由畢氏定理切線長 = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm。
15	同一段弧所對的圓周角為 35°，求該弧所對的圓心角。	圓心角等於同弧所對圓周角的兩倍，故圓心角 = 2 × 35° = 70°。
16	直徑所對的圓周角是多少度？寫出所用定理並簡略說明理由。	直徑所對的圓周角為 90°，即半圓上的圓周角。理由：圓心角為 180°（直線），而同弧所對圓心角為圓周角的兩倍，故圓周角為 180° / 2 = 90°。

本部分共四題，概率以最簡分數表示，統計量取三位有效數字。

#	題目	答案與評分要點
17	袋中有 5 個紅球與 3 個藍球，隨機抽出 2 個（不放回），求兩個皆為紅球的概率。	第一次抽到紅球的概率為 5/8，第二次在餘下 4 紅 3 藍中抽到紅球為 4/7，故概率 = 5/8 × 4/7 = 5/14。
18	承上題，求至少抽到一個藍球的概率。	用對立事件：至少一個藍球的概率 = 1 − P(兩個皆紅) = 1 − 5/14 = 9/14。
19	數據 4、7、7、9、13，求平均數、中位數與方差（以整組數據計算）。	平均數 = (4 + 7 + 7 + 9 + 13) / 5 = 8。數據已排序，中位數為第三個值 7。方差 = [(4−8)² + (7−8)² + (7−8)² + (9−8)² + (13−8)²] / 5 = 44/5 = 8.8。
20	求該組數據的標準差及 13 的標準分（z 分），取三位有效數字。	標準差 = √8.8 = 2.966（三位有效數字取 2.97）。標準分 z = (13 − 8) / 2.9665 = 1.685（取 1.69），表示 13 高於平均數約 1.69 個標準差。

本部分共四題，設 f(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6，須寫出代入步驟。

#	題目	答案與評分要點
21	求 f(2) 與 f(−1)。	f(2) = 2 × 8 − 3 × 4 − 11 × 2 + 6 = 16 − 12 − 22 + 6 = -12。f(−1) = 2 × (−1) − 3 × 1 + 11 + 6 = −2 − 3 + 11 + 6 = 12。
22	用餘式定理求 f(x) 除以 (x − 3) 的餘數。	餘數為 f(3) = 2 × 27 − 3 × 9 − 11 × 3 + 6 = 54 − 27 − 33 + 6 = 0。餘數為零，表示 (x − 3) 整除 f(x)。
23	將 f(x) 因式分解為三個一次因式。	由上一題知 (x − 3) 為因式，長除得 f(x) = (x − 3)(2x² + 3x − 2)。再分解 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2)，故 f(x) = (x − 3)(2x − 1)(x + 2)。
24	解方程 f(x) = 0。	由因式分解，三個因式分別為零：x − 3 = 0 得 x = 3；2x − 1 = 0 得 x = 0.5；x + 2 = 0 得 x = −2。故解為 x = 3、x = 0.5、x = −2。

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