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IB 數學 AA：數列與級數（基礎 10 題）
IB 數學 AA：數列與級數（基礎 10 題）
基礎十題：等差通項與求和、等比第 n 項、無窮和公式、項數計算，以及 arⁿ 與 arⁿ⁻¹ 的常見混淆。
練習重點 先分清等差與等比，通項指數一律由 n − 1 起算。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 30 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學 AA：數列與級數 |
| 適用年級 | IB 數學 AA（SL） |
02 題目（10 題）
- 基礎等差數列首項 3、公差 5，求第 10 項。
- 基礎等比數列首項 2、公比 3，求第 6 項。
- 基礎求無窮等比級數 8 + 4 + 2 + 1 + … 之和。
- 基礎等差數列 5, 9, 13, …, 97 共有多少項？
- 進階等差數列首項 4、公差 6，求首 12 項之和。
- 進階等比數列 5, 10, 20, … 求第 8 項及首 8 項之和。
- 進階等比數列首項 12、公比 0.8，求無窮和，並說明為何可以求和。
- 挑戰等差數列首項 6、公差 4，第幾項等於 50？
- 挑戰同一數列（首項 3、公差 5）求首 20 項之和。
- 錯題重練有學生寫「等比第 n 項 = arⁿ，所以 a = 3、r = 2 時第 1 項是 6」。錯在哪裏？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | u₁₀ = 3 + (10 − 1) × 5 = 3 + 45 = 48。 | 通項是 a + (n − 1)d，第 10 項只加 9 次公差，不是 10 次。 |
| 2 | u₆ = 2 × 3^(6 − 1) = 2 × 243 = 486。 | 等比第 n 項是 ar^(n − 1)，指數比項數少 1。 |
| 3 | a = 8，r = 1/2，S∞ = 8 ÷ (1 − 1/2) = 16。 | 公式只在 |r| < 1 時成立，本題 r = 1/2 符合條件。 |
| 4 | (97 − 5) ÷ 4 + 1 = 23 + 1 = 24 項。 | 項數 = (末項 − 首項) ÷ 公差 + 1，最後的加一最易漏。 |
| 5 | S₁₂ = 12/2 × [2 × 4 + 11 × 6] = 6 × 74 = 444。 | 用 Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]，先算括號內的項再乘外面的 n/2。 |
| 6 | u₈ = 5 × 2⁷ = 640；S₈ = 5(2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 5 × 255 = 1275。 | 等比求和公式分子是 (rⁿ − 1)；r > 1 時這樣寫可避免負號。 |
| 7 | S∞ = 12 ÷ (1 − 0.8) = 12 ÷ 0.2 = 60；因 |0.8| < 1，級數收斂。 | 先檢查 |r| < 1，否則公式無意義。 |
| 8 | 6 + (n − 1) × 4 = 50，得 (n − 1) × 4 = 44，n = 12。 | 反求項數要把通項寫成方程再解，不要靠逐項數。 |
| 9 | S₂₀ = 20/2 × [2 × 3 + 19 × 5] = 10 × 101 = 1010。 | 雖然已知第 10 項是 48，求和仍要用 a 與 d，不能只用一項的數值。 |
| 10 | 第 1 項應是 ar⁰ = 3 × 1 = 3。用 arⁿ 會令每一項都放大 r 倍，整條數列都錯。 | 指數由 0 開始，這是通項公式最常見的錯誤。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。