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IB 數學 AA：數列與級數（進階 10 題）
IB 數學 AA：數列與級數（進階 10 題）
進階十題：複利與折舊、負公差與負公比、反解公比、由 Sₙ 反求 a 與 d，以及以 2 的次方找出首個超過目標的項。
練習重點 應用題先寫出 a 與 r 或 d，再代公式；折舊與複利都是連乘。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 30 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學 AA：數列與級數 |
| 適用年級 | IB 數學 AA（SL／HL） |
02 題目（10 題）
- 基礎把 $5 000 存入年利率 4% 的複利戶口，3 年後可得多少？（取至小數後兩位）
- 基礎等差數列首項 10、公差 −3，求第 15 項。
- 基礎等比數列首項 3、公比 −2，求第 5 項。
- 基礎求 1 + 3 + 5 + … + 19（首 10 個奇數之和）。
- 進階等比數列首項 2、公比 3，求首 6 項之和。
- 進階無窮等比級數之和為 24，首項為 6，求公比。
- 進階數列 3, 6, 12, … 第幾項首次超過 1 000？該項是多少？
- 挑戰某等差數列首 n 項之和為 n² + 2n。求首項與公差。
- 挑戰一輛新車價值 $200 000，每年折舊 15%。4 年後價值多少（取至元）？
- 錯題重練有學生用 5 000 × (1 + 0.04 × 3) = 5 600 計算複利，與正確答案相差多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 5 000 × 1.04³ = 5 000 × 1.124864 = $5 624.32。 | 複利是每年乘以 (1 + 4%)，不是每年加 4%。 |
| 2 | u₁₅ = 10 + 14 × (−3) = 10 − 42 = −32。 | 公差可以是負數，代入時要把負號一併保留。 |
| 3 | u₅ = 3 × (−2)⁴ = 3 × 16 = 48。 | 負公比的偶數次方為正，第 5 項是正數。 |
| 4 | 這是等差，a = 1、d = 2、n = 10，S₁₀ = 10/2 × (1 + 19) = 100。 | 亦可用「首 n 個奇數之和 = n²」核對：10² = 100。 |
| 5 | S₆ = 2 × (3⁶ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × 728 ÷ 2 = 728。 | 3⁶ = 729，分子是 728；留意不要寫成 3⁶ − 1 = 728 之後又乘錯。 |
| 6 | 6 ÷ (1 − r) = 24，得 1 − r = 0.25，r = 0.75。 | 反解後要確認 |r| < 1，本題 0.75 符合。 |
| 7 | 3 × 2^(n − 1) > 1 000，即 2^(n − 1) > 333.3；2⁸ = 256、2⁹ = 512，故 n − 1 = 9，n = 10，該項為 1 536。 | 用 2 的次方逐級比較，比用計算機試算可靠。 |
| 8 | S₁ = 1 + 2 = 3，故 a = 3；S₂ = 4 + 4 = 8，第二項 = 8 − 3 = 5，公差 d = 5 − 3 = 2。 | 先由 S₁ 得首項，再用 S₂ − S₁ 得第二項，兩步都要寫出來。 |
| 9 | 200 000 × 0.85⁴ = 200 000 × 0.52200625 = $104 401.25，約 $104 401。 | 折舊是每年乘以 0.85，連續 4 次，不是減去 4 × 15%。 |
| 10 | 正確值 5 624.32，與 5 600 相差 $24.32。5 600 是單利，複利要把歷年利息再投入。 | 差額 $24.32 就是「利疊利」，年期越長差距越大。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。