中文（繁體）
中文（简体）
English
IB 數學 AA：數列與級數（挑戰 10 題）
IB 數學 AA：數列與級數（挑戰 10 題）
挑戰十題：Σ 符號運算、循環小數化分數、由和反求公差、二次方程取捨、三數成等差的設法、期初年金的計算與收斂條件的判斷。
練習重點 每題先寫公式與已知量，二次方程得出的兩個根要按題目條件取捨。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 30 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：IB 數學 AA：數列與級數 |
| 適用年級 | IB 數學 AA（HL） |
02 題目（10 題）
- 基礎求 Σ (3k + 1)，k 由 1 到 20。
- 基礎求 0.4 + 0.04 + 0.004 + … 之和（以分數表示）。
- 基礎等差數列首項 4，首 20 項之和為 650，求公差。
- 基礎判斷 1 + 1/3 + 1/9 + … 是否收斂，並求和。
- 進階等比數列首項 4、首 3 項之和為 52、公比大於 1，求公比。
- 進階三個數成等差，和為 24，積為 384，求這三個數。
- 進階每年年頭存入 $3 000，年利率 3%，第 5 次年尾的總值是多少？（取至小數後兩位）
- 挑戰等差數列首項 5、公差 3，首 n 項之和首次超過 500 時，n 是多少？
- 挑戰等比數列首項 6，無窮和為 9，求前 3 項之和，並與無窮和比較。
- 錯題重練有學生對 r = 3/2 的等比級數照用 S∞ = a ÷ (1 − r)，得出負數並說「無窮和是負的」。錯在哪裏？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | Σ3k = 3 × (20 × 21 ÷ 2) = 630，加上 Σ1 = 20，總和 650。 | 先把常數與 k 的項分開，Σk 由 1 到 n 為 n(n + 1)/2。 |
| 2 | a = 0.4、r = 0.1，S∞ = 0.4 ÷ 0.9 = 4/9。 | 無限循環小數可以用無窮等比級數表示，0.444… 正是 4/9。 |
| 3 | 650 = 20/2 × [8 + 19d] = 10 × (8 + 19d)，得 65 = 8 + 19d，d = 3。 | 反解 d 時先把 n/2 移到左邊，避免展開時出錯。 |
| 4 | r = 1/3，|r| < 1 故收斂；S∞ = 1 ÷ (1 − 1/3) = 3/2。 | 是否收斂只看 |r|，與首項大小無關。 |
| 5 | 4(1 + r + r²) = 52，即 r² + r − 12 = 0，(r − 3)(r + 4) = 0；因 r > 1，故 r = 3。 | 二次方程有兩個根，要按題目條件取捨，不能兩個都寫。 |
| 6 | 設三數為 8 − d、8、8 + d（中間項 = 24 ÷ 3 = 8）；積 8(64 − d²) = 384，得 d² = 16，d = 4，三數為 4、8、12。 | 設 a − d、a、a + d 可令和與積同時簡化。 |
| 7 | 3 000 × 1.03 × (1.03⁵ − 1) ÷ 0.03 = 3 000 × 5.468410 ≈ $16 405.23。 | 年頭存入的每筆都比年尾存入多滾一年息，所以要整體乘 1.03。 |
| 8 | Sₙ = n(3n + 7) ÷ 2；S₁₇ = 493、S₁₈ = 549，故 n = 18。 | 要同時核對前後兩個 n 值，只解不等式再四捨五入會出錯。 |
| 9 | r = 1 − 6/9 = 1/3；S₃ = 6(1 − 1/27) ÷ (1 − 1/3) = 26/3 ≈ 8.67，比 9 少 1/3，餘下的正是無窮餘項。 | 首項為正且 0 < r < 1 時，前 n 項和永遠小於無窮和。 |
| 10 | |r| > 1 時級數發散，根本沒有無窮和，公式不適用；代數得出的負數沒有意義。 | 公式的三個條件是：等比、|r| < 1、首項有限，缺一不可。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。