中二數學｜恆等式與因式分解（Identities and Factorisation）備課指引（導師用）

中二數學｜恆等式與因式分解（Identities and Factorisation）備課指引（導師用）｜60 分鐘由展開教到十字相乘

2026-11-07

學生通常「識展開、唔識分解」，因為展開是順著做，分解是要倒著猜。要教的不只是公式，而是把「展開」變成可逆的動作：先問「兩個括號乘出來會是甚麼」，再教他倒轉找出那兩個括號。

本堂目標　學生能夠：① 講出並用對三個恆等式（(a+b)²、(a−b)²、a²−b²），展開時不逐項硬乘；② 先抽公因數，再用十字相乘分解 x²+bx+c；③ 30 秒內判斷一條多項式應該「抽公因數」還是「十字相乘」，並用展開驗算自己的答案。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
分配律	3(x+4) 展開是甚麼	3x+12，逐項乘
負數乘法	(−2)×(−3) 等於多少	+6，同號得正
同類項合併	5x 與 3x² 可以相加嗎	不可以，次方不同
平方的意思	(2x)² 是 2x² 還是 4x²	4x²，係數都要平方

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–15 分	入場：一行對照	白板左邊寫 (x+3)(x+4)，右邊寫 x²+7x+12，要學生講兩者有咩關係	講出「同一個式，兩種寫法」
15–28 分	三個恆等式	逐個示範 (a+b)²、(a−b)²、a²−b²，用面積圖解釋為何中間項是 2ab	背三個式子，並各做一題
28–38 分	先抽公因數	示範 6x²+9x = 3x(2x+3)：先找數字公因數，再找字母的最低次方	做 5 題抽公因數
38–50 分	十字相乘	示範 x²+7x+12：找兩數相乘得 12、相加得 7；寫成 (x+3)(x+4) 並展開驗算	做 6 題，每題都要展開驗算
50–57 分	負數與難題	示範 x²−5x−24：兩數相乘負、相加負，一隻負一隻正	做 3 題含負數的分解
57–60 分	離場檢查	三題口頭快問	獨立作答

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：因式分解是展開的倒帶，不是新公式

大部分學生把因式分解當成背一堆技巧，所以每題都要問「呢條用邊個方法」。其實因式分解只有一個目標：把加減的式子改寫成乘積。所有方法都服務這個目標，而驗算方法永遠是同一個——展開回去看是否等於原式。
上課第一句就要講清楚：展開是由括號走到多項式，因式分解是由多項式走回括號。兩邊是同一條路，方向相反。學生一旦接受「倒帶」這個畫面，後面的方法就只是工具。

要學生講：用一句話講出展開與因式分解的分別，並各舉一例。

第二幕：十字相乘的重點是「兩個數」，不是交叉線

學生畫十字線畫得很靚，但答錯，因為他從頭到尾沒有問過「邊兩個數相乘等於常數項、相加等於一次項係數」。十字相乘的實質是一次因數配對搜尋：常數項 12 的配對有 (1,12)、(2,6)、(3,4)，只有 (3,4) 相加是 7。
教的時候要他把配對全部列出來，逐對加一次，選中的那對打圈，最後才寫括號。這個「列配對」的動作看似慢，但會讓學生明白為何答案唯一。

要學生做：分解 x²+7x+12 前，先把 12 的三對因數全寫出，逐對寫和。

第三幕：抽公因數一定排第一，否則後面全錯

學生見到 3x²+6x 就直接想十字相乘，結果卡住，因為常數項與一次項都有公因數 3 和 x。正確次序是：先抽數字公因數，再抽字母最低次方，剩下才用十字相乘或恆等式。
抽公因數還有一個好處：答案不會漏。很多時抽完之後括號內就是 a²−b²，一眼看出平方差。要學生養成習慣：每題落筆前先問「有無公因數」，並在題目旁寫一個「抽」字。

要學生做：每題開始前先答「有無公因數，是甚麼」，寫在題號旁邊。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
直接展開（用恆等式）	(2x−5)²	認出是 (a−b)²，寫 a=2x、b=5，中間項 2ab=20x	4x²−20x+25，中間項一定要有
平方差	(3a+2)(3a−2)	同一個 a、一加一減，答案只有兩項	9a²−4，中間項相消
抽公因數	6x²+9x	數字取最大公因數 3，字母取最低次方 x	3x(2x+3)
十字相乘（含負數）	x²−5x−24	列 24 的配對，找相加為 −5：−8 與 +3	(x−8)(x+3)，展開驗算

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：每題分解完必須展開驗算，一次項與常數項都要對；平方差答案只有兩項，若寫出中間項即錯；完全平方的中間項係數必為 2ab，學生常漏係數 2；抽公因數後括號內不可再有公因數；十字相乘的兩數乘積必須等於常數項（含正負號），相加必須等於一次項係數。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
抽公因數 5 題	每題先寫出公因數再分解	看有無漏字母部分
十字相乘 6 題	先列常數項所有配對，再選	看配對是否列齊、符號是否對
三題混合	題目不分類，自行判斷用哪個方法	看能否 30 秒內選對方法

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
(2x)² 寫成 2x²	展開 (2x−5)² 時第一項寫 2x²	「括號內整個 2x 都要平方，2 同 x 一齊平方，係 4x²。」
完全平方漏中間項	答 (x+4)² = x²+16	「(a+b)² 有三項，中間 2ab 係 8x，漏咗就等於寫咗個錯嘅恆等式。」
平方差寫成三項	答 (x+3)(x−3) = x²+9	「一加一減，中間項會相消，答案只淨兩項：x²−9。」
分解完不驗算	答 x²−5x−24 = (x−8)(x−3)	「你展開睇下中間項係 −11x，唔係 −5x。驗算三十秒，慳返重做五分鐘。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

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本章重做　重做十字相乘 6 題，每題列配對並展開驗算

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
展開同因式分解分別	一個去括號、一個回括號，互為相反	答「一樣」＝回到第一幕
(a−b)² 有幾項	三項，中間 −2ab	答兩項＝回到第二幕
分解前第一件事	問有無公因數	答「直接十字相乘」＝回到第三幕
x²−5x−24 的兩數	−8 與 +3	答錯符號＝回到第五幕

09　導師常問

學生未熟乘法表，十字相乘很慢怎麼辦？

先只做常數項為 12、24 這類多配對的題，並要求列出配對表，速度會在熟悉配對後自然提升。

要背公式還是靠展開？

三個恆等式要背，因為它們是「認出來」的題型；其他多項式一律靠展開驗算，不需要背。

何時教 a³±b³？

中二課程未要求，先把二次的恆等式與十字相乘練熟，避免混淆。

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