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中三數學：圓的性質與圓周角（進階 10 題）
中三數學：圓的性質與圓周角（進階 10 題）
進階卷加入圓內接四邊形（對角互補、外角等於內對角）、內錯弓形定理、切線四邊形 OAPB 的 360° 計算、弦心距與勾股定理，以及用代數式反求未知數。每題附答案與一句解說。
快速答案 答案依序：65°、95°、72°、64°、20、63°、130°、45°、16 cm、12 cm。圓內接四邊形對角相加必為 180°，是最易漏的一步。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 約 35 分鐘 |
| 難度分佈 | 進階 10 |
| 對應章節 | 所屬章節：中三數學：圓的性質、圓周角與切線 |
| 適用年級 | 中三 |
02 題目（10 題）
- 進階O 為圓心，∠AOB = 130°，C 在優弧 AB 上。求 ∠ACB。
- 進階ABCD 是圓內接四邊形，∠A = 85°，求 ∠C。
- 進階圓內接四邊形 ABCD，延長 BC 至 E，外角 ∠DCE = 72°。求內對角 ∠A。
- 進階切線 PT 切圓於 T，弦 TA 與切線的夾角 ∠PTA = 64°。求弦 TA 在另一弓形所對的圓周角。
- 進階同一段弧所對的圓心角是 (3x − 20)°，圓周角是 x°。求 x。
- 進階AB 是圓的直徑，C 在圓周上，∠ABC = 27°。求 ∠BAC。
- 進階PA 與 PB 是從外點 P 引出的兩條切線，∠APB = 50°。求 ∠AOB（O 為圓心）。
- 進階圓內接四邊形 ABCD 中，∠B = 3∠D。求 ∠D。
- 進階圓的半徑是 10 cm，一條弦 AB 與圓心的距離是 6 cm。求 AB 的長度。
- 進階從圓外一點 P 到圓心 O 的距離是 13 cm，圓半徑 5 cm，PA 是切線（A 為切點）。求 PA。
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 65° | C 在優弧上，所對的是劣弧 AB，圓周角是圓心角的一半：130° ÷ 2 = 65°。 |
| 2 | 95° | 圓內接四邊形對角互補：∠C = 180° − 85° = 95°。 |
| 3 | 72° | 圓內接四邊形的外角等於內對角，所以 ∠A = ∠DCE = 72°。 |
| 4 | 64° | 切線與弦的夾角等於該弦在另一弓形所對的圓周角（內錯弓形定理），所以是 64°。 |
| 5 | 20 | 圓心角等於圓周角的兩倍：3x − 20 = 2x，所以 x = 20。 |
| 6 | 63° | ∠ACB = 90°，所以 ∠BAC = 180° − 90° − 27° = 63°。 |
| 7 | 130° | 四邊形 OAPB 中 ∠OAP = ∠OBP = 90°，所以 ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°。 |
| 8 | 45° | 對角互補：3∠D + ∠D = 180°，所以 ∠D = 45°（∠B = 135°）。 |
| 9 | 16 cm | 圓心到弦的垂線平分弦，半弦 = √(10² − 6²) = 8，所以 AB = 16 cm。 |
| 10 | 12 cm | ∠OAP = 90°，用勾股定理：PA = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。