中三數學｜有效數字與百分誤差備課指引（導師用）｜12.4 cm 量度的誤差鏈的 60 分鐘教法

2026-11-06

用間尺量到 12.4 cm，學生會以為答案精確到小數後一位；其實真值可能在 12.35 至 12.45 之間，誤差 0.05 cm 就是這樣來的。有效數字不是「數到第幾個位」，而是「這個數可以被信任到哪一位」。

本堂目標　學生能夠：① 判斷一個數有幾位有效數字（前置零不算、夾在中間的零算、尾隨零要看有無小數點），12 題至少對 10 題；② 由最小刻度算出最大絕對誤差（刻度 ÷ 2），再算百分誤差，12.4 cm 一題答 0.4%；③ 講出為何要先做完整運算最後才四捨五入，並示範連續四捨五入會錯在哪。

01　先備知識（開課前 3 分鐘快檢）

以下任何一項未過關，本堂就會卡住，先補該項：

技能	快檢題	過關標準
小數位與位值	12.4 中的 4 在哪一個位	十分位
四捨五入	3.14159 取三位有效數字	3.14
百分數	0.05 ÷ 12.4 寫成百分數	約 0.40%

02　課堂流程（60 分鐘）

時間	環節	導師做什麼	學生做什麼
0–5 分	入場：三個數	寫 0.004560、28050、12.40，問各有幾位有效數字	講出答案並說明理由
5–18 分	有效數字規則	示範三種零：前置零不算、中間零算、尾隨零在小數中算	完成 6 題判斷並寫理由
18–32 分	最大絕對誤差	示範：最小刻度 0.1 cm，誤差 = 0.1 ÷ 2 = 0.05 cm；寫出真值範圍 12.35–12.45	為三個量度值寫出範圍
32–45 分	百分誤差	示範 0.05 ÷ 12.4 × 100 ≈ 0.40%，並講分母用甚麼	獨立算三題並保留三位有效數字
45–55 分	連續四捨五入陷阱	示範 2.345 → 2.35 → 2.4 的錯法，正確是一次過取 2.3	改錯三題
55–60 分	離場檢查	三題即收回批	獨立完成

03　講解腳本（照著說就可以）

第一幕：有效數字看的是「可信位」，不是「數到第幾位」

規則可以拆成三句：一、由左邊第一個非零數字開始數；二、夾在兩個非零數字之間的零要算；三、小數點後的尾隨零要算，整數的尾隨零不算（除非有標示）。
所以 0.004560 有四位（4、5、6、0），前置的三個零不算；28050 只有四位（尾隨零不算）；12.40 有四位（小數尾隨零算）。
要學生每次先圈出第一個非零數字，之後見零就問一句「這個零左邊有非零數字嗎、右邊有非零數字嗎」。

要學生做：6 個數逐個圈首位、逐個零寫「算／不算」，並講出理由。

第二幕：最大絕對誤差＝最小刻度的一半，這是定義不是估算

量度工具只能讀到最小刻度，最後一位是估讀，所以真值最多偏離半個刻度。間尺最小刻度 0.1 cm，最大絕對誤差就是 0.05 cm，寫成範圍是 12.4 ± 0.05，即 12.35 至 12.45。
很多學生把 0.1 當成誤差，答案就大了一倍。要強調「一半」這兩個字，並且每次都問「刻度是多少」。
百分誤差 = 最大絕對誤差 ÷ 量度值 × 100%，這裡 0.05 ÷ 12.4 × 100 ≈ 0.40%。分母用量度值，不是用真值（真值未知）。

要學生講：為甚麼量度越小的東西，百分誤差越大——同一個 0.05 cm 誤差，除以 12.4 是 0.4%，除以 1.24 就是 4%。

第三幕：四捨五入只做一次，而且要留在最後

學生常常每一步都取約數：2.345 先取兩位小數變 2.35，再取一位小數變 2.4；但一次過取一位小數應該是 2.3。
教一件事：整個計算過程保留多一至兩位，只在最後寫答案時取約數一次。這樣答案才符合評分要求。
另外要講清楚「取三位有效數字」和「取三位小數」是兩件事，學生極容易混淆，寫答案前先讀清楚題目要求的是 sf 還是 dp。

要學生做：同一題用「每步取約」與「最後才取」各算一次，把兩個答案並排寫出來對比。

04　必教題型與步驟

題型	例子	步驟	答案
判斷有效數字位數	0.004560 有幾位有效數字？	圈第一個非零數字，再逐個零判斷	4 位
取有效數字	3.14159 取三位有效數字	由左數三位，看第四位決定進位	3.14
最大絕對誤差	最小刻度 0.1 cm，量得 12.4 cm，求最大絕對誤差	刻度 ÷ 2	0.05 cm
百分誤差	同上，求百分誤差	最大絕對誤差 ÷ 量度值 × 100%	約 0.40%

合理性檢查（一定要教）：合理性檢查：前置零永不算有效數字；整數的尾隨零若無標示不算；百分誤差必須是正數且寫成百分數；最大絕對誤差一定是刻度的一半，不會等於刻度；答案的有效數字位數不可超過題目給的位數（12.4 只有三位，答案寫 0.4032% 就是假精確）；四捨五入只在最後一步做。

05　獨立練習三題

題目	答案	想觀察什麼
12 題判斷	12 個數判斷有效數字位數	看有沒有把前置零算進去
三題誤差	由刻度算最大絕對誤差與百分誤差	看有沒有把刻度當誤差
三題連續取約	改正常見的連續四捨五入錯法	看是否只在最後取約

06　學生常見錯誤與糾正句

錯誤	學生通常這樣寫	導師這樣說
把前置零算成有效數字	答 0.004560 有 7 位	「前面三個零係定位用，唔係可信數字。由 4 開始數，四位。」
誤差用刻度不是一半	答最大絕對誤差 0.1 cm	「你讀到最後一位係估讀，最多偏半格。0.1 嘅一半＝0.05。」
每步都四捨五入	把 2.345 分兩步取成 2.4	「你取約咗兩次。一次過取一位小數係 2.3，唔係 2.4。」
答案假精確	量度 12.4 cm 卻答百分誤差 0.4032258%	「量度只有三位有效數字，你答八位就係假精確。答 0.40% 就夠。」

07　家課建議（直接指到練習卷題號）

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本章重做　用三個不同刻度（0.1／0.5／1 cm）各算一次最大絕對誤差與百分誤差

08　離場檢查（最後 5 分鐘）

題目	答案	判定
0.004560 有幾位有效數字	4 位	答「7 位」＝回到第一幕
最大絕對誤差怎樣算	最小刻度 ÷ 2	答「等於刻度」＝回到第二幕
四捨五入做幾次	只做一次，在最後	答「每步都做」＝回到第三幕

09　導師常問

有效數字與小數位有甚麼分別？

有效數字由第一個非零數字起算；小數位只數小數點後的位置。28050 取三位有效數字是 28100，但小數位是零位。

為何分母用量度值而不是真值？

真值未知，只能用量到的值作參考；這也是為何百分誤差只是估計。

尾隨零一定要用科學記數法表示嗎？

要。28050 想表示五位有效數字，寫 2.8050 × 10⁴，否則讀者無法判斷。

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