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中五數學 指數與對數 練習卷三（挑戰）｜十題附答案
中五數學 指數與對數 練習卷三（挑戰）｜十題附答案
十道原創指數方程與應用題，全部附答案與一句解說。
直接答案 本卷十題：第 1–3 題練化同底與對數方程，第 4–6 題練設 y = a^x 化二次方程，第 7–8 題練對數化簡與雙根檢查，第 9 題用複利做應用，第 10 題澄清指數不可拆成加數。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學：指數與對數 |
| 適用年級 | S5 |
02 題目（10 題）
- 基礎解方程 3^(x+1) = 27^(x−1)。
- 基礎解方程 9^x = 27。
- 基礎解方程 log₂ x + log₂ (x − 2) = 3。
- 進階解方程 4^x − 5(2^x) + 4 = 0。
- 進階解方程 5^(2x) − 6(5^x) + 5 = 0。
- 進階解方程 2^(x²) = 8^x，其中 x ≠ 0。
- 挑戰解方程 log₁₀ x = 2 log₁₀ 3 + log₁₀ 2。
- 挑戰解方程 3^(2x) − 10(3^x) + 9 = 0。
- 挑戰存款年利率 5%，複利計算，本利和 = P(1.05)^n。最少要多少個完整年頭本金才可翻倍？
- 錯題重練有同學把 2^(x+1) 寫成 2^x + 2。正確寫法是甚麼？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | x = 2 | 27 = 3³，故 x + 1 = 3x − 3，得 4 = 2x，x = 2。 |
| 2 | x = 3/2（即 1.5） | 兩邊化同底：3^(2x) = 3³，故 2x = 3，x = 1.5。 |
| 3 | x = 4 | 合併得 log₂[x(x−2)] = 3，即 x² − 2x − 8 = 0，根為 4 與 −2；因真數要正，只取 4。 |
| 4 | x = 0 或 x = 2 | 設 y = 2^x，得 y² − 5y + 4 = 0，y = 1 或 4，故 x = 0 或 2。 |
| 5 | x = 0 或 x = 1 | 設 y = 5^x，得 y² − 6y + 5 = 0，y = 1 或 5，故 x = 0 或 1。 |
| 6 | x = 3 | 8^x = 2^(3x)，故 x² = 3x，x = 0 或 3；題目排除 0，取 3。 |
| 7 | x = 18 | 右邊 = log₁₀ 9 + log₁₀ 2 = log₁₀ 18，故 x = 18。 |
| 8 | x = 0 或 x = 2 | 設 y = 3^x，得 y² − 10y + 9 = 0，y = 1 或 9，故 x = 0 或 2。 |
| 9 | 15 年 | 需 1.05^n ≥ 2，即 n ≥ log2 ÷ log1.05 ≈ 14.2，故最少 15 年；14 年只得約 1.98 倍。 |
| 10 | 2 × 2^x | 指數相加等於相乘：2^(x+1) = 2^x × 2，不是把 2 分離成加數。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。