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中五數學 指數與對數練習四：錯題重練
中五數學 指數與對數練習四：錯題重練
十題針對歷來最常見的四類錯誤：把指數相加當相乘、分數指數次序顛倒、把對數的加法拆開、以及忽略真數必須為正的定義域。每題重算一次。
直接答案 第 01 至 03 題重算指數律與分數指數，第 04 至 06 題處理對數值、對數相加與同底方程，第 07 至 09 題解合併對數方程、人口增長與半衰期，第 10 題改正 log(a + b) 的拆解錯誤。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 25 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中五數學 指數與對數 |
| 適用年級 | 中五 |
02 題目（10 題）
- 基礎化簡 2³ × 2⁴，並求其值。
- 基礎求 27 的 2/3 次方的值。
- 基礎解方程 3 的 x 次方等於 81。
- 進階求 log₂ 32 與 log₃(1/9) 的值。
- 進階求 log 8 + log 125 的值（以 10 為底）。
- 進階解 2 的 (x + 1) 次方等於 32。
- 挑戰解 log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3。
- 挑戰某城市人口 500 000，每年增長 4%。求最少幾年後人口超過 700 000。
- 挑戰某放射性物質半衰期 20 年，起初 800 g。求 60 年後的質量，並求降至 25 g 所需年數。
- 錯題重練有同學寫 log(4 + 5) = log 4 + log 5，並說兩邊都得 1.301。錯在哪裡？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | 2⁷，即 128。 | 同底數相乘，指數相加，8 與 16 不用逐個乘開。 |
| 2 | 9（先取立方根得 3，再平方）。 | 分數指數分母開方、分子乘方，兩步次序可以對調。 |
| 3 | x = 4。 | 把右邊寫成同底數 3⁴，再比較指數。 |
| 4 | 5 與 −2。 | 1/9 即 3⁻²，對數可以是負數。 |
| 5 | log 1000，即 3。 | 同底對數相加，等於真數相乘後的對數，8 × 125 = 1000。 |
| 6 | x = 4。 | 兩邊同底後指數相等，x + 1 = 5。 |
| 7 | x = 3。 | 合併後 (x − 1)(x + 1) = 8，取正根並檢查定義域 x 大於 1。 |
| 8 | 9 年。第 8 年 684 285 人仍未夠，第 9 年 711 656 人。 | 解 500000 × 1.04ⁿ 大於 700000，n 大於 8.6 故取 9。 |
| 9 | 60 年後 100 g；降至 25 g 需 100 年。 | 每 20 年減半，60 年三次半衰期，25 g 需五次即 100 年。 |
| 10 | 對數只把乘法拆開：log 9 ≈ 0.954，而 log 4 + log 5 = log 20 ≈ 1.301。 | log(ab) 才等於 log a + log b，加法不可拆。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。