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中六數學 對數與指數：第 3 份（挑戰）
中六數學 對數與指數：第 3 份（挑戰）
本份把對數律用於方程、複利與半衰期，並要求對數方程考慮定義域。
直接答案 第 1 至 3 題 4、0 或 2、約 0.6990；第 4 至 6 題 3、3 與 0、15 年；第 7 至 9 題 15 年、±100、約 1.710；第 10 題 約 1.585。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 |
| 建議時間 | 20 |
| 難度分佈 | 基礎 3 · 進階 3 · 挑戰 3 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六數學 對數與指數 |
| 適用年級 | 挑戰 |
02 題目（10 題）
- 基礎解 log₂ x + log₂ (x − 2) = 3，其中 x > 2。
- 基礎解 2^(2x) − 5(2ˣ) + 4 = 0。
- 基礎已知 log 2 ≈ 0.3010，求 log 5 的值。
- 進階求 log₂ 3 × log₃ 4 × log₄ 8 的值。
- 進階求 ln e³ 與 ln 1 的值。
- 進階把 $1000 存入年利率 5% 的戶口，每年複利一次。最少要多少年才增至 $2000？
- 挑戰某物質每 5 年半減一次，原本 80 g，問多少年後剩 10 g？
- 挑戰解 log₁₀ (x²) = 4。
- 挑戰解 3ˣ = 2^(x+1)（答案準確至三位小數）。
- 錯題重練有學生解 2ˣ = 3 時寫 x = 3/2。錯在哪裡？正確答案是多少？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | x = 4 | 合併得 log₂ x(x − 2) = 3，即 x² − 2x − 8 = 0，因式分解得 x = 4 或 −2，取正根 4。 |
| 2 | x = 0 或 x = 2 | 令 y = 2ˣ，得 y² − 5y + 4 = 0，y = 1 或 4，故 x = 0 或 2。 |
| 3 | 約 0.6990 | log 5 = log (10 ÷ 2) = 1 − 0.3010 = 0.6990。 |
| 4 | 3 | 逐項串連，中間底數相消，最後等於 log₂ 8 = 3。 |
| 5 | 3 與 0 | 自然對數以 e 為底，ln e³ = 3、ln 1 = 0。 |
| 6 | 15 年 | 需 1.05ⁿ ≥ 2，n ≥ 14.21，故最少 15 年。 |
| 7 | 15 年 | 80 → 40 → 20 → 10，共三次半減，5 × 3 = 15 年。 |
| 8 | x = 100 或 x = −100 | x² = 10⁴ = 10000，故 x = 100 或 −100。 |
| 9 | x ≈ 1.710 | 兩邊取對數得 x log 3 = (x + 1) log 2，故 x = log 2 ÷ (log 3 − log 2) ≈ 1.710。 |
| 10 | 不能把指數移走；正確答案 x ≈ 1.585 | 要用對數：x = log₃ ÷ log₂ ≈ 1.585；3/2 只是把 3 除以底數 2，並無根據。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。