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中六物理：天文與太空科學 — 練習第三份（挑戰，10 題）
中六物理：天文與太空科學 — 練習第三份（挑戰，10 題）
第三份把尺度推到極端：由哈勃常數反推宇宙年齡、由退行速率求距離、由質量算黑洞史瓦西半徑、由質量光度關係估恆星壽命，再用質量與半徑求系外行星密度、用角直徑公式與光子能量連起觀測量。最後用雙星克卜勒定律稱質量，並拆解「銀河系在宇宙中心」這個誤解。
快速答案 1/H0 ≈ 14.0 十億年；0.1c 得 429 Mpc；10 太陽質量黑洞 Rs ≈ 29.5 km；10 太陽質量星壽命約 3 160 萬年；5 地球質量 1.5 地球半徑得 8 170 kg/m³；100 000 ly 於 10 百萬 ly 得 0.57°；500 nm 光子 3.98 × 10⁻¹⁹ J 即 2.48 eV；雙星 a = 2 AU；星等差 5 得距離比 10；膨脹無中心。
01 本卷資料（做完才看答案）
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 題數 | 10 題 |
| 建議時間 | 約 32 分鐘 |
| 難度分佈 | 基礎 4 · 進階 3 · 挑戰 2 · 錯題重練 1 |
| 對應章節 | 所屬章節：中六物理｜天文與太空科學：光年、光度、紅移與宇宙膨脹 |
| 適用年級 | 中六 |
02 題目（10 題）
- 基礎哈勃常數 70 km/s/Mpc，求哈勃時間 1/H0（以十億年表示）。
- 基礎一個星系的退行速率是光速的 0.1 倍，依哈勃定律它的距離約多少 Mpc？
- 基礎一個 10 個太陽質量的黑洞，史瓦西半徑是多少？（Rs = 2GM/c²）
- 基礎恆星壽命 t ∝ M/L，而 L ∝ M³·⁵。一顆 10 個太陽質量的星，壽命約多少？（太陽壽命取 100 億年）
- 進階一顆系外行星質量是地球 5 倍、半徑是地球 1.5 倍，平均密度約多少？（地球密度 5 515 kg/m³）
- 進階一個直徑 100 000 光年的星系距離 10 百萬光年，它的角直徑約多少度？
- 進階波長 500 nm 的光子能量是多少焦耳？即多少 eV？
- 挑戰一對雙星總質量 2 個太陽質量、週期 2 年，軌道半長軸是多少 AU？（P² = a³/M）
- 挑戰兩顆星絕對星等相同，A 的視星等是 6、B 是 11，B 的距離是 A 的幾倍？
- 錯題重練有同學說「宇宙膨脹是星系在既有空間中飛散，所以銀河系在宇宙中心」，錯在哪裏？
03 答案與一句解說
| 題號 | 答案 | 一句解說 |
|---|---|---|
| 1 | H0 = 70 × 1000 ÷ 3.086 × 10²² = 2.27 × 10⁻¹⁸ s⁻¹；1/H0 = 4.41 × 10¹⁷ s ≈ 14.0 十億年 | 哈勃時間是宇宙年齡的粗略估計，真實年齡要按膨脹歷史修正。 |
| 2 | v = 0.1 × 3.00 × 10⁵ = 3.0 × 10⁴ km/s；d = 30 000 ÷ 70 ≈ 429 Mpc | 這只是線性哈勃定律的估算，遠距離要用相對論公式修正。 |
| 3 | Rs = 2 × 6.67 × 10⁻¹¹ × 1.99 × 10³¹ ÷ (3.00 × 10⁸)² ≈ 2.95 × 10⁴ m ≈ 29.5 km | 史瓦西半徑與質量成正比，太陽質量的黑洞只有約 3 km。 |
| 4 | t ∝ M / M³·⁵ = M⁻²·⁵；t = 10¹⁰ × 10 ÷ 10³·⁵ ≈ 3.16 × 10⁷ 年 ≈ 3 160 萬年 | 大質量星燃料多但燒得極快，所以壽命反而短得多。 |
| 5 | 密度比 = 5 ÷ 1.5³ = 5 ÷ 3.375 ≈ 1.48；1.48 × 5 515 ≈ 8 170 kg/m³ | 密度要由質量與半徑一齊算，只看質量會誤判行星是岩石還是氣體。 |
| 6 | θ = 10⁵ ÷ 10⁷ = 0.010 rad；換成度數 0.010 × 57.3 ≈ 0.57° | 小角度公式 θ = 直徑 ÷ 距離，天文上經常用角分與角秒表達。 |
| 7 | E = hc/λ = 6.63 × 10⁻³⁴ × 3.00 × 10⁸ ÷ 5.00 × 10⁻⁷ ≈ 3.98 × 10⁻¹⁹ J ≈ 2.48 eV | 波長越短光子能量越大，所以紫外線足以打斷化學鍵。 |
| 8 | a³ = M P² = 2 × 4 = 8，a = 2 AU | 雙星版本要把總質量放進分母，這是量度恆星質量最直接的方法。 |
| 9 | 視星等差 5 等即亮度差 100 倍；亮度 ∝ 1/d²，所以距離比 = √100 = 10 倍 | 同光度天體越遠越暗，用亮度比就可反推距離比。 |
| 10 | 膨脹是空間本身在伸展，任何星系看別人都見同樣的退行規律，沒有中心；紅移隨距離增加只是尺度因子在變 | 均勻膨脹沒有特殊中心，這一點與爆炸碎片飛散完全不同。 |
04 做完之後怎樣跟進
- 對完答案，只重做錯的那幾題，並在錯題旁寫出錯在哪一步（公式、單位還是抄錯數）。
- 同一題隔兩日再做一次；兩次都對才可以移到下一份練習。
- 家長只需看答案欄與解說欄，不必逐題講解。
本卷題目與答案由 TutorZone 團隊原創編寫，並非任何學校、出版社或考試局的試題；數值與答案均以程式核算。