TutorZone（www.tutorzone.com.hk）原創模擬試題 · 非考評局官方試題
直接答案：AP Calculus 分 AB 与 BC 两卷，结构完全相同：全长 3 小时 10 分，Section I 选择题 42 题／1 小时 40 分／占 50%（Part A 29 题、62 分钟，不可用图形计算机，占 35%；Part B 13 题、38 分钟，须用图形计算机，占 15%），Section II 自由作答 6 题／1 小时 30 分／占 50%（Part A 2 题、30 分钟，须用计算机，占 16.7%；Part B 4 题、60 分钟，不可用计算机，占 33.3%）。考试为混合数位模式：选择题与题目在 Bluebook 应用程序作答，自由作答题手写在纸本答题簿。成绩以 1–5 分报告，不设校本评核；AB 与 BC 同一年不可同时报考。BC 卷覆盖 AB 全部内容，另加参数／极坐标／向量函数、级数、分部积分等课题。
| 部分 | 题数 | 时间 | 计算机 | 占分 |
|---|---|---|---|---|
| Section I A（选择题） | 29 题 | 62 分钟 | 不可使用图形计算机 | 35% |
| Section I B（选择题） | 13 题 | 38 分钟 | 须使用图形计算机 | 15% |
| Section I 合计——42 题／1 小时 40 分 | 50% | |||
| Section II A（自由作答） | 2 题 | 30 分钟 | 须使用图形计算机 | 16.7% |
| Section II B（自由作答） | 4 题 | 60 分钟 | 不可使用计算机 | 33.3% |
| Section II 合计——6 题／1 小时 30 分 | 50% | |||
考试总时长 3 小时 10 分；选择题与自由作答题的题目在 Bluebook 测试应用程序中呈现，自由作答题则手写在纸本答题簿上，答题簿回收后由官方评分。计算机必须是 AP 认可型号（图形计算机），详见 College Board 的计算机政策。成绩报告为 1–5 分，没有校本评核或课程作业。
四条要记住的规则：① AB 与 BC 同一年不可同时报考（同一考生一年只可考其中一卷）；② 两卷的卷制、时间与占分完全一样，分别在于课题范围；③ Section I Part A 与 Section II Part B 是不可使用计算机的部分，占全卷 68.3%（35% + 33.3%），手算能力直接影响成绩；④ 成绩为 1–5 级，不少大学对 Calculus 给予学分或豁免，实际要求以各大学公布为准。
| 项目 | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
|---|---|---|
| 卷制、时间、占分 | 完全相同（见上表） | |
| 课题范围 | 极限与连续、微分、积分、微分方程（分离变数）、面积与体积 | 包含 AB 全部内容，另加：参数方程、极坐标与向量函数；分部积分、部分分式、瑕积分；欧拉方法与逻辑斯蒂模型；弧长；数列与级数（含泰勒级数） |
| 适合对象 | 高中一年修完微积分、目标医科／商科／生命科学 | 已完成 AB 或数学基础较强、目标工程／物理／数学／计算机 |
| 难度定位 | 相等于大学第一学期微积分 | 相等于大学第一、二学期微积分 |
选科建议：校内只开一科微积分，而学生打算读工程或物理，直接选 BC；若时间紧迫、或只需要一张 Calculus 成绩用于商科／医科前置要求，AB 的分数通常更容易做高。切勿为“考多一张”而在同一年同时报考 AB 与 BC（官方不允许）。
本模拟卷由 TutorZone 导师团队依据 College Board 公开的 AP Calculus AB 与 AP Calculus BC 课程与考试说明（含考制、时间、占分与计算机政策）自行编写，并非 AP 官方试题、样本试卷或过往试题。AP® 及相关课程文件版权属 College Board，本卷不转载任何官方试题或课程文件内容。题目、详解与评分要点均为本卷原创，所有数值答案已逐题核算。为方便自学，本卷把官方 42 题选择题缩短为 18 题代表题（Part A 12 题、Part B 6 题），自由作答题则完整 6 题，另加一题 BC 加考题；各题分数分配为本卷自订。
Part A（12 题，不可使用计算机）——每题选一个最佳答案，须显示运算过程以便自我检查。
1. 求 limx→3 (x² − 9)/(x − 3)。（1 分）
2. 求 d/dx [x³ ln x]。（1 分）
3. 求 ∫ (3x² − 2x + 1) dx。（1 分）
4. 已知 f(x) = x³ − 6x² + 9x，求 f 的所有临界点（critical points）的 x 值。（1 分）
5. 求 limx→0 (1 − cos x)/x²。（1 分）
6. 曲线 y = sin 2x 在 x = π/6 处的切线斜率是多少？（1 分）
7. 求 ∫₀² (4 − x²) dx。（1 分）
8. 求 f(x) = x² 在区间 [1, 4] 上的平均变化率。（1 分）
9. 把 limn→∞ Σi=1n (i/n)² (1/n) 写成定积分并求值。（1 分）
10. 已知 f″(x) = (x − 2)(x + 1)，求 f 的图像向下凹（concave down）的区间。（1 分）
11. 已知 f(2) = 5 且 f′(2) = 3，求 (f⁻¹)′(5)。（1 分）
12. 曲线 2x² + 3y² = 30 上点 (3, 2) 处的 dy/dx 是多少？（1 分）
Part B（6 题，可使用图形计算机，数值取 3 位小数或 3 位有效数字）
13. 求 f(x) = x³ 在区间 [0, 2] 上的平均值。（1 分）
14. 求曲线 y = x² 与直线 y = 2x 所围成区域的面积。（1 分）
15. 质点的速率为 v(t) = 6t − 4（m/s），已知 s(1) = 3，求 s(3)。（1 分）
16. 曲线 y = √x 在 x = 0 至 x = 4 之间绕 x 轴旋转，求旋转体体积。（1 分）
17. 某量以 y = 100e0.05t 增长，求 y 增至 200 所需的 t。（1 分）
18. 账户余额 A(t) = 500(1.02)t（元），求 A′(10)，即第 10 年时的瞬时增长率。（1 分）
Part A（第 1–2 题，须使用图形计算机）
1. 区域 R 由曲线 y = x² 与直线 y = 2x + 3 所围成。
(a) 求两者的交点。（3 分）
(b) 求 R 的面积。（3 分）
(c) R 绕 x 轴旋转，求旋转体体积（以 π 表示）。（3 分）
2. 一个球形气球的体积以 100 cm³/s 的速率增加。
(a) 当半径 r = 5 cm 时，求半径的增长率 dr/dt。（5 分）
(b) 此时表面积 S = 4πr² 的增长率 dS/dt 是多少？（4 分）
Part B（第 3–6 题，不可使用计算机）
3. 已知 f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4。
(a) 求 f′(x)。（2 分）
(b) 求所有临界点，并判定各点为极大或极小。（4 分）
(c) 求 f 在 x = 0 处的切线方程。（2 分）
(d) 求 f 递减的区间。（1 分）
4. 曲线的方程为 x² + xy + y² = 7。
(a) 以隐函数微分求 dy/dx。（4 分）
(b) 求点 (1, 2) 处的 dy/dx。（2 分）
(c) 求该点处的切线方程。（2 分）
(d) 求曲线上切线为铅直线（vertical tangent）的两点。（1 分）
5. 定义 F(x) = ∫₁x (t² − 4) dt。
(a) 求 F′(x)。（2 分）
(b) 求 F 的极值点位置并判定性质。（3 分）
(c) 求 F(2)。（2 分）
(d) 在 [1, 5] 上，方程 F(x) = 0 有多少个解？说明理由。（2 分）
6. (a) 解微分方程 dy/dx = 2xy，已知 y(0) = 3。（6 分）
(b) 求 y(0.5)。（3 分）
BC 加考题（选考，1 题）
7. (BC) (a) 写出 f(x) = e−x² 的麦克劳林级数首四项。（4 分）
(b) 用 (a) 的级数估算 ∫₀0.5 e−x² dx，取 4 位小数。（3 分）
(c) 判断级数 Σn=1∞ 1/(n·3n) 是否收敛，并说明所用检验法。（2 分）
1. 约去分母：原式 = lim (x + 3) = 6。
2. 乘积法则：3x²·ln x + x³·(1/x) = x²(3 ln x + 1)。
3. x³ − x² + x + C（每一项各自积分）。
4. f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) ⇒ x = 1 或 x = 3。
5. 用 1 − cos x ≈ x²/2（或洛必达法则两次）⇒ 极限 = 1/2。
6. y′ = 2cos 2x ⇒ y′(π/6) = 2cos(π/3) = 1。
7. [4x − x³/3]₀² = 8 − 8/3 = 16/3 ≈ 5.333。
8. 平均变化率 = (f(4) − f(1))/(4 − 1) = (16 − 1)/3 = 5。
9. 黎曼和对应 ∫₀¹ x² dx = 1/3。
10. f″ < 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 2。
11. (f⁻¹)′(5) = 1/f′(2) = 1/3。
12. 隐函数微分：4x + 6y·y′ = 0 ⇒ y′ = −2x/(3y) ⇒ 在 (3, 2) 得 −1。
13. 平均值 = (1/(2 − 0))∫₀² x³ dx = (1/2)(4) = 2。
14. 交点 x = 0、2；面积 = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1.333。
15. s(3) = 3 + ∫₁³ (6t − 4) dt = 3 + [3t² − 4t]₁³ = 3 + (15 + 1) = 19。
16. V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π ≈ 25.133。
17. 100e0.05t = 200 ⇒ t = ln 2 / 0.05 = 约 13.863。
18. A′(t) = 500(1.02)t ln 1.02 ⇒ A′(10) = 约 12.070（元／年）。
1. (a) 3 分：x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 与 x = 3（交点 (−1, 1) 与 (3, 9)）。(b) 3 分：面积 = ∫₋₁³ (2x + 3 − x²) dx = [x² + 3x − x³/3]₋₁³ = 9 − (−5/3) = 32/3 ≈ 10.667。(c) 3 分：V = π∫₋₁³ [(2x + 3)² − (x²)²] dx = π(364/3 − 244/5) = 1088π/15 ≈ 227.87。必须写出 V = π∫(外半径² − 内半径²) dx 才给方法分。
2. (a) 5 分：V = (4/3)πr³ ⇒ dV/dt = 4πr²·(dr/dt)（3 分）；100 = 4π(25)(dr/dt) ⇒ dr/dt = 1/π ≈ 0.318 cm/s（2 分）。(b) 4 分：S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr·(dr/dt)（2 分）= 8π(5)(1/π) = 40 cm²/s（2 分）。
3. (a) 2 分：f′(x) = 6x² − 6x − 12。(b) 4 分：6x² − 6x − 12 = 0 ⇒ 6(x − 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = 2 或 −1（2 分）；f″(x) = 12x − 6：x = −1 时 f″ = −18 < 0 ⇒ (−1, 11) 为极大点；x = 2 时 f″ = 18 > 0 ⇒ (2, −16) 为极小点（2 分）。(c) 2 分：f(0) = 4、f′(0) = −12 ⇒ 切线 y = −12x + 4。(d) 1 分：f′ < 0 ⇒ −1 < x < 2 为递减区间。
4. (a) 4 分：2x + y + xy′ + 2yy′ = 0（3 分）⇒ y′ = −(2x + y)/(x + 2y)（1 分）。(b) 2 分：代入 (1, 2)：−(2 + 2)/(1 + 4) = −4/5。(c) 2 分：y − 2 = −(4/5)(x − 1) ⇒ y = −(4/5)x + 14/5。(d) 1 分：铅直切线须 x + 2y = 0，代入原式得 3y² = 7 ⇒ y = ±√(7/3)，两点为 (−2√(7/3), √(7/3)) 与 (2√(7/3), −√(7/3))（约 (−3.055, 1.528) 与 (3.055, −1.528)）。
5. (a) 2 分：微积分基本定理 ⇒ F′(x) = x² − 4。(b) 3 分：F′ = 0 ⇒ x = ±2；x = −2 为极大（F′ 由正转负）、x = 2 为极小（由负转正）。（注意 −2 不在本题 [1, 5] 的讨论范围内。）(c) 2 分：F(2) = [t³/3 − 4t]₁² = (8/3 − 8) − (1/3 − 4) = −5/3 ≈ −1.667。(d) 2 分：2 个解——x = 1 时 F = 0；F 在 (1, 2) 上由 0 降至 −5/3 后回升，而 F(5) = [t³/3 − 4t]₁⁵ = 76/3 > 0，故在 (2, 5) 内另有一解。
6. (a) 6 分：分离变数 dy/y = 2x dx（2 分）；ln|y| = x² + C（2 分）；y = 3ex²（代入 y(0) = 3 求 C，2 分）。(b) 3 分：y(0.5) = 3e0.25 = 约 3.852。
7. (BC) (a) 4 分：eu = 1 + u + u²/2 + u³/6 + …，令 u = −x² ⇒ 1 − x² + x⁴/2 − x⁶/6。(b) 3 分：逐项积分 ⇒ 0.5 − 0.5³/3 + 0.5⁵/10 − 0.5⁷/42 = 约 0.4613。(c) 2 分：收敛——比值检验法：an+1/an = n/(3(n + 1)) → 1/3 < 1。另可用与收敛的 Σ1/3n 作比较检验（n·3n ≥ 3n）。
| 课题 | AB | BC 额外内容 |
|---|---|---|
| 极限与连续 | 极限定义、单侧极限、连续性、夹挤定理 | 洛必达法则处理不定型、瑕积分 |
| 微分 | 定义、幂／乘积／商／链式法则、隐函数微分、相关变化率 | 参数方程与向量函数的微分、弧长、极坐标曲线面积 |
| 微分的应用 | 均值定理、极值与凹性、优化问题、率相关问题 | 逻辑斯蒂增长模型、欧拉方法 |
| 积分 | 黎曼和、微积分基本定理、换元法、定积分应用（面积、体积、累积变化量） | 分部积分、部分分式、瑕积分、弧长 |
| 微分方程 | 分离变数、斜率场、指数增长与衰减 | 逻辑斯蒂微分方程、欧拉方法近似解 |
| 数列与级数 | 不考 | 收敛与发散、比值／比较／积分／交错级数检验、泰勒与麦克劳林级数、误差界 |
| 周次 | 内容 | 操练重点 |
|---|---|---|
| 1–2 | 极限、连续、导数定义 | 代数化简求极限；不可使用计算机的极限题 |
| 3–4 | 微分法则、隐函数微分 | 每日 10 题纯手算求导（含乘积与链式） |
| 5 | 微分的应用：极值、凹性、均值定理 | 写齐判定理由（一阶变号或二阶导数） |
| 6 | 相关变化率与优化问题 | 先写出关系式，再对时间求导 |
| 7–8 | 黎曼和、微积分基本定理、换元法 | 把极限形式的和式转成定积分 |
| 9 | 面积与体积、累积变化量 | 画图定上下限；体积题写 R² − r² |
| 10 | 微分方程与斜率场 | 分离变数、指数增长模型 |
| 11 | 限时操练：Section I Part A（62 分钟）＋Part B（38 分钟） | 选择题节奏：不可使用计算机部分约 2 分钟／题 |
| 12 | 限时操练：Section II 全套（1 小时 30 分，2＋4 题） | 每题约 15 分钟，先写评分点公式再运算 |
| BC 考生加 2 周 | 级数收敛检验、泰勒级数、参数与极坐标 | 比值／比较／交错级数检验各 20 题 |
问：AB 与 BC 可以同年一起考吗？
不可以。官方规定同一考生在同一年度不可同时报考 AP Calculus AB 与 AP Calculus BC；只能选其中一科。
问：BC 是不是“AB 加一科”？
BC 覆盖 AB 的全部课题，再加参数方程、极坐标与向量函数、分部积分与部分分式、瑕积分、欧拉方法、弧长，以及数列与级数（含泰勒级数）。因此 BC 的备考时间通常比 AB 多三分之一左右。
问：考试用什么计算机？
须使用 College Board 认可的图形计算机（4 个功能部分中，2 个部分可用）；不得使用手机、电脑或未经认可的型号。详见官方 AP 计算机政策。
问：Free Response 是打字还是手写？
自由作答题的题目在 Bluebook 应用程序中显示，但答案手写在纸本答题簿上，答题簿回收后由官方评分。
问：成绩怎样算？
选择题与自由作答题各占 50%，经统计程序合成后以 1–5 报告（5 为最佳）。各大学的学分或豁免政策不同，须以个别大学公布为准。
问：这份模拟卷与官方试题有何分别？
本卷是依官方公开考制与课题自行编写的原创练习题，选择题为代表题（官方 42 题中抽取 18 题形态），自由作答题共 6 题加 1 题 BC 加考题。建议配合官方历年 Free Response 题目与评分指引一同使用。
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| AP Calculus AB（College Board 官方课程页） | 考制、题数、时间、占分与考试日期 |
| AP Calculus BC（College Board 官方课程页） | BC 加考课题与卷制 |
| AP Central：Calculus AB 考试说明 | 各部分题数、时间与计算机规则（官方原文） |
| AP Central：Calculus BC 考试说明 | BC 各部分题数、时间与计算机规则（官方原文） |
延伸阅读：A Level 数学 9709 Paper 1 模拟试题、IB 数学 AA SL 模拟试题、IGCSE 数学 0580 模拟试题、备考练习题总览。想安排 AP Calculus 补习，可先看 学科的解释，再配对合适导师。