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AP Calculus AB／BC 模拟试题＋完整详解、评分要点与 12 周备考计划

AP Calculus AB／BC 模拟试题＋完整详解、评分要点与 12 周备考计划

  • 2026-09-21

直接答案：AP Calculus 分 AB 与 BC 两卷，结构完全相同：全长 3 小时 10 分，Section I 选择题 42 题／1 小时 40 分／占 50%（Part A 29 题、62 分钟，不可用图形计算机，占 35%；Part B 13 题、38 分钟，须用图形计算机，占 15%），Section II 自由作答 6 题／1 小时 30 分／占 50%（Part A 2 题、30 分钟，须用计算机，占 16.7%；Part B 4 题、60 分钟，不可用计算机，占 33.3%）。考试为混合数位模式：选择题与题目在 Bluebook 应用程序作答，自由作答题手写在纸本答题簿。成绩以 1–5 分报告，不设校本评核；AB 与 BC 同一年不可同时报考。BC 卷覆盖 AB 全部内容，另加参数／极坐标／向量函数、级数、分部积分等课题。

AP Calculus AB／BC 模拟试题：y = x² 与 y = 2x + 3 之间的面积与旋转体体积
本卷自由作答第 1 题的图形：两曲线在 x = −1 与 x = 3 相交，面积 32/3、绕 x 轴旋转体体积 1088π/15。

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01

考制速览：AP Calculus AB 与 BC（2027 年 5 月）

部分 题数 时间 计算机 占分
Section I A（选择题） 29 题 62 分钟 不可使用图形计算机 35%
Section I B（选择题） 13 题 38 分钟 须使用图形计算机 15%
Section I 合计——42 题／1 小时 40 分 50%
Section II A（自由作答） 2 题 30 分钟 须使用图形计算机 16.7%
Section II B（自由作答） 4 题 60 分钟 不可使用计算机 33.3%
Section II 合计——6 题／1 小时 30 分 50%

考试总时长 3 小时 10 分；选择题与自由作答题的题目在 Bluebook 测试应用程序中呈现，自由作答题则手写在纸本答题簿上，答题簿回收后由官方评分。计算机必须是 AP 认可型号（图形计算机），详见 College Board 的计算机政策。成绩报告为 1–5 分，没有校本评核或课程作业。

四条要记住的规则：① AB 与 BC 同一年不可同时报考（同一考生一年只可考其中一卷）；② 两卷的卷制、时间与占分完全一样，分别在于课题范围；③ Section I Part A 与 Section II Part B 是不可使用计算机的部分，占全卷 68.3%（35% + 33.3%），手算能力直接影响成绩；④ 成绩为 1–5 级，不少大学对 Calculus 给予学分或豁免，实际要求以各大学公布为准。

02

AB 与 BC 的分别与选科策略

项目 AP Calculus AB AP Calculus BC
卷制、时间、占分 完全相同（见上表）
课题范围 极限与连续、微分、积分、微分方程（分离变数）、面积与体积 包含 AB 全部内容，另加：参数方程、极坐标与向量函数；分部积分、部分分式、瑕积分；欧拉方法与逻辑斯蒂模型；弧长；数列与级数（含泰勒级数）
适合对象 高中一年修完微积分、目标医科／商科／生命科学 已完成 AB 或数学基础较强、目标工程／物理／数学／计算机
难度定位 相等于大学第一学期微积分 相等于大学第一、二学期微积分

选科建议：校内只开一科微积分，而学生打算读工程或物理，直接选 BC；若时间紧迫、或只需要一张 Calculus 成绩用于商科／医科前置要求，AB 的分数通常更容易做高。切勿为“考多一张”而在同一年同时报考 AB 与 BC（官方不允许）。

03

本卷设计与版权说明

本模拟卷由 TutorZone 导师团队依据 College Board 公开的 AP Calculus AB 与 AP Calculus BC 课程与考试说明（含考制、时间、占分与计算机政策）自行编写，并非 AP 官方试题、样本试卷或过往试题。AP® 及相关课程文件版权属 College Board，本卷不转载任何官方试题或课程文件内容。题目、详解与评分要点均为本卷原创，所有数值答案已逐题核算。为方便自学，本卷把官方 42 题选择题缩短为 18 题代表题（Part A 12 题、Part B 6 题），自由作答题则完整 6 题，另加一题 BC 加考题；各题分数分配为本卷自订。

04

Section I 模拟选择题

Part A（12 题，不可使用计算机）——每题选一个最佳答案，须显示运算过程以便自我检查。

1. 求 limx→3 (x² − 9)/(x − 3)。（1 分）

2. 求 d/dx [x³ ln x]。（1 分）

3. 求 ∫ (3x² − 2x + 1) dx。（1 分）

4. 已知 f(x) = x³ − 6x² + 9x，求 f 的所有临界点（critical points）的 x 值。（1 分）

5. 求 limx→0 (1 − cos x)/x²。（1 分）

6. 曲线 y = sin 2x 在 x = π/6 处的切线斜率是多少？（1 分）

7. 求 ∫₀² (4 − x²) dx。（1 分）

8. 求 f(x) = x² 在区间 [1, 4] 上的平均变化率。（1 分）

9. 把 limn→∞ Σi=1n (i/n)² (1/n) 写成定积分并求值。（1 分）

10. 已知 f″(x) = (x − 2)(x + 1)，求 f 的图像向下凹（concave down）的区间。（1 分）

11. 已知 f(2) = 5 且 f′(2) = 3，求 (f⁻¹)′(5)。（1 分）

12. 曲线 2x² + 3y² = 30 上点 (3, 2) 处的 dy/dx 是多少？（1 分）

Part B（6 题，可使用图形计算机，数值取 3 位小数或 3 位有效数字）

13. 求 f(x) = x³ 在区间 [0, 2] 上的平均值。（1 分）

14. 求曲线 y = x² 与直线 y = 2x 所围成区域的面积。（1 分）

15. 质点的速率为 v(t) = 6t − 4（m/s），已知 s(1) = 3，求 s(3)。（1 分）

16. 曲线 y = √x 在 x = 0 至 x = 4 之间绕 x 轴旋转，求旋转体体积。（1 分）

17. 某量以 y = 100e0.05t 增长，求 y 增至 200 所需的 t。（1 分）

18. 账户余额 A(t) = 500(1.02)t（元），求 A′(10)，即第 10 年时的瞬时增长率。（1 分）

05

Section II 模拟自由作答题（6 题，另加 1 题 BC 加考）

Part A（第 1–2 题，须使用图形计算机）

1. 区域 R 由曲线 y = x² 与直线 y = 2x + 3 所围成。
(a) 求两者的交点。（3 分）
(b) 求 R 的面积。（3 分）
(c) R 绕 x 轴旋转，求旋转体体积（以 π 表示）。（3 分）

2. 一个球形气球的体积以 100 cm³/s 的速率增加。
(a) 当半径 r = 5 cm 时，求半径的增长率 dr/dt。（5 分）
(b) 此时表面积 S = 4πr² 的增长率 dS/dt 是多少？（4 分）

Part B（第 3–6 题，不可使用计算机）

3. 已知 f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4。
(a) 求 f′(x)。（2 分）
(b) 求所有临界点，并判定各点为极大或极小。（4 分）
(c) 求 f 在 x = 0 处的切线方程。（2 分）
(d) 求 f 递减的区间。（1 分）

4. 曲线的方程为 x² + xy + y² = 7。
(a) 以隐函数微分求 dy/dx。（4 分）
(b) 求点 (1, 2) 处的 dy/dx。（2 分）
(c) 求该点处的切线方程。（2 分）
(d) 求曲线上切线为铅直线（vertical tangent）的两点。（1 分）

5. 定义 F(x) = ∫₁x (t² − 4) dt。
(a) 求 F′(x)。（2 分）
(b) 求 F 的极值点位置并判定性质。（3 分）
(c) 求 F(2)。（2 分）
(d) 在 [1, 5] 上，方程 F(x) = 0 有多少个解？说明理由。（2 分）

6. (a) 解微分方程 dy/dx = 2xy，已知 y(0) = 3。（6 分）
(b) 求 y(0.5)。（3 分）

BC 加考题（选考，1 题）

7. (BC) (a) 写出 f(x) = e−x² 的麦克劳林级数首四项。（4 分）
(b) 用 (a) 的级数估算 ∫₀0.5 e−x² dx，取 4 位小数。（3 分）
(c) 判断级数 Σn=1∞ 1/(n·3n) 是否收敛，并说明所用检验法。（2 分）

06

Section I 答案（第 1–18 题）

1. 约去分母：原式 = lim (x + 3) = 6。

2. 乘积法则：3x²·ln x + x³·(1/x) = x²(3 ln x + 1)。

3. x³ − x² + x + C（每一项各自积分）。

4. f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) ⇒ x = 1 或 x = 3。

5. 用 1 − cos x ≈ x²/2（或洛必达法则两次）⇒ 极限 = 1/2。

6. y′ = 2cos 2x ⇒ y′(π/6) = 2cos(π/3) = 1。

7. [4x − x³/3]₀² = 8 − 8/3 = 16/3 ≈ 5.333。

8. 平均变化率 = (f(4) − f(1))/(4 − 1) = (16 − 1)/3 = 5。

9. 黎曼和对应 ∫₀¹ x² dx = 1/3。

10. f″ < 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 2。

11. (f⁻¹)′(5) = 1/f′(2) = 1/3。

12. 隐函数微分：4x + 6y·y′ = 0 ⇒ y′ = −2x/(3y) ⇒ 在 (3, 2) 得 −1。

13. 平均值 = (1/(2 − 0))∫₀² x³ dx = (1/2)(4) = 2。

14. 交点 x = 0、2；面积 = ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1.333。

15. s(3) = 3 + ∫₁³ (6t − 4) dt = 3 + [3t² − 4t]₁³ = 3 + (15 + 1) = 19。

16. V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π ≈ 25.133。

17. 100e0.05t = 200 ⇒ t = ln 2 / 0.05 = 约 13.863。

18. A′(t) = 500(1.02)t ln 1.02 ⇒ A′(10) = 约 12.070（元／年）。

07

Section II 答案与评分要点（第 1–7 题）

1. (a) 3 分：x² = 2x + 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 与 x = 3（交点 (−1, 1) 与 (3, 9)）。(b) 3 分：面积 = ∫₋₁³ (2x + 3 − x²) dx = [x² + 3x − x³/3]₋₁³ = 9 − (−5/3) = 32/3 ≈ 10.667。(c) 3 分：V = π∫₋₁³ [(2x + 3)² − (x²)²] dx = π(364/3 − 244/5) = 1088π/15 ≈ 227.87。必须写出 V = π∫(外半径² − 内半径²) dx 才给方法分。

2. (a) 5 分：V = (4/3)πr³ ⇒ dV/dt = 4πr²·(dr/dt)（3 分）；100 = 4π(25)(dr/dt) ⇒ dr/dt = 1/π ≈ 0.318 cm/s（2 分）。(b) 4 分：S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr·(dr/dt)（2 分）= 8π(5)(1/π) = 40 cm²/s（2 分）。

3. (a) 2 分：f′(x) = 6x² − 6x − 12。(b) 4 分：6x² − 6x − 12 = 0 ⇒ 6(x − 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = 2 或 −1（2 分）；f″(x) = 12x − 6：x = −1 时 f″ = −18 < 0 ⇒ (−1, 11) 为极大点；x = 2 时 f″ = 18 > 0 ⇒ (2, −16) 为极小点（2 分）。(c) 2 分：f(0) = 4、f′(0) = −12 ⇒ 切线 y = −12x + 4。(d) 1 分：f′ < 0 ⇒ −1 < x < 2 为递减区间。

4. (a) 4 分：2x + y + xy′ + 2yy′ = 0（3 分）⇒ y′ = −(2x + y)/(x + 2y)（1 分）。(b) 2 分：代入 (1, 2)：−(2 + 2)/(1 + 4) = −4/5。(c) 2 分：y − 2 = −(4/5)(x − 1) ⇒ y = −(4/5)x + 14/5。(d) 1 分：铅直切线须 x + 2y = 0，代入原式得 3y² = 7 ⇒ y = ±√(7/3)，两点为 (−2√(7/3), √(7/3)) 与 (2√(7/3), −√(7/3))（约 (−3.055, 1.528) 与 (3.055, −1.528)）。

5. (a) 2 分：微积分基本定理 ⇒ F′(x) = x² − 4。(b) 3 分：F′ = 0 ⇒ x = ±2；x = −2 为极大（F′ 由正转负）、x = 2 为极小（由负转正）。（注意 −2 不在本题 [1, 5] 的讨论范围内。）(c) 2 分：F(2) = [t³/3 − 4t]₁² = (8/3 − 8) − (1/3 − 4) = −5/3 ≈ −1.667。(d) 2 分：2 个解——x = 1 时 F = 0；F 在 (1, 2) 上由 0 降至 −5/3 后回升，而 F(5) = [t³/3 − 4t]₁⁵ = 76/3 > 0，故在 (2, 5) 内另有一解。

6. (a) 6 分：分离变数 dy/y = 2x dx（2 分）；ln|y| = x² + C（2 分）；y = 3ex²（代入 y(0) = 3 求 C，2 分）。(b) 3 分：y(0.5) = 3e0.25 = 约 3.852。

7. (BC) (a) 4 分：eu = 1 + u + u²/2 + u³/6 + …，令 u = −x² ⇒ 1 − x² + x⁴/2 − x⁶/6。(b) 3 分：逐项积分 ⇒ 0.5 − 0.5³/3 + 0.5⁵/10 − 0.5⁷/42 = 约 0.4613。(c) 2 分：收敛——比值检验法：an+1/an = n/(3(n + 1)) → 1/3 < 1。另可用与收敛的 Σ1/3n 作比较检验（n·3n ≥ 3n）。

08

课题范围：AB 核心与 BC 加考

课题 AB BC 额外内容
极限与连续 极限定义、单侧极限、连续性、夹挤定理 洛必达法则处理不定型、瑕积分
微分 定义、幂／乘积／商／链式法则、隐函数微分、相关变化率 参数方程与向量函数的微分、弧长、极坐标曲线面积
微分的应用 均值定理、极值与凹性、优化问题、率相关问题 逻辑斯蒂增长模型、欧拉方法
积分 黎曼和、微积分基本定理、换元法、定积分应用（面积、体积、累积变化量） 分部积分、部分分式、瑕积分、弧长
微分方程 分离变数、斜率场、指数增长与衰减 逻辑斯蒂微分方程、欧拉方法近似解
数列与级数 不考 收敛与发散、比值／比较／积分／交错级数检验、泰勒与麦克劳林级数、误差界
09

最常见的失分位

  • 忽略“是否可用计算机”：Section I Part B 与 Section II Part A 才可用图形计算机；用计算机去做不可使用计算机的部分，等于白做。相反，可用计算机的部分要善用表格与图形功能加速。
  • 没有写出所用公式或设定：AP 自由作答题以“评分点”给分，例如体积题必须先写 V = π∫(R² − r²) dx，相关变化率题必须先写 dV/dt = 4πr²·dr/dt。只写答案不会得分。
  • 未按要求取近似值：可用计算机的题目通常要求 3 位小数；中间步骤过早四舍五入会令末答偏差。不可使用计算机的题目通常要求准确值（如 32/3、1088π/15）。
  • 忽略单位：cm/s、cm²/s、元／年、平方单位等必须写出；相关变化率题漏单位是常见扣分点。
  • 极值判定只用一阶导数：须以一阶导数变号或二阶导数判定，并明确写出“极大”或“极小”。
  • 隐函数微分漏项：对 y 求导时要乘 y′（例如 xy 的导数是 y + xy′），漏乘 y′ 是最常见的计算失误。
  • 把 BC 课题写进 AB 答卷：级数、极坐标、分部积分属 BC 范围，AB 考生不必准备，也不应浪费时间。
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12 周备考时间表

周次 内容 操练重点
1–2 极限、连续、导数定义 代数化简求极限；不可使用计算机的极限题
3–4 微分法则、隐函数微分 每日 10 题纯手算求导（含乘积与链式）
5 微分的应用：极值、凹性、均值定理 写齐判定理由（一阶变号或二阶导数）
6 相关变化率与优化问题 先写出关系式，再对时间求导
7–8 黎曼和、微积分基本定理、换元法 把极限形式的和式转成定积分
9 面积与体积、累积变化量 画图定上下限；体积题写 R² − r²
10 微分方程与斜率场 分离变数、指数增长模型
11 限时操练：Section I Part A（62 分钟）＋Part B（38 分钟） 选择题节奏：不可使用计算机部分约 2 分钟／题
12 限时操练：Section II 全套（1 小时 30 分，2＋4 题） 每题约 15 分钟，先写评分点公式再运算
BC 考生加 2 周 级数收敛检验、泰勒级数、参数与极坐标 比值／比较／交错级数检验各 20 题
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常见问题 FAQ

问：AB 与 BC 可以同年一起考吗？
不可以。官方规定同一考生在同一年度不可同时报考 AP Calculus AB 与 AP Calculus BC；只能选其中一科。

问：BC 是不是“AB 加一科”？
BC 覆盖 AB 的全部课题，再加参数方程、极坐标与向量函数、分部积分与部分分式、瑕积分、欧拉方法、弧长，以及数列与级数（含泰勒级数）。因此 BC 的备考时间通常比 AB 多三分之一左右。

问：考试用什么计算机？
须使用 College Board 认可的图形计算机（4 个功能部分中，2 个部分可用）；不得使用手机、电脑或未经认可的型号。详见官方 AP 计算机政策。

问：Free Response 是打字还是手写？
自由作答题的题目在 Bluebook 应用程序中显示，但答案手写在纸本答题簿上，答题簿回收后由官方评分。

问：成绩怎样算？
选择题与自由作答题各占 50%，经统计程序合成后以 1–5 报告（5 为最佳）。各大学的学分或豁免政策不同，须以个别大学公布为准。

问：这份模拟卷与官方试题有何分别？
本卷是依官方公开考制与课题自行编写的原创练习题，选择题为代表题（官方 42 题中抽取 18 题形态），自由作答题共 6 题加 1 题 BC 加考题。建议配合官方历年 Free Response 题目与评分指引一同使用。

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官方资源对照表

资源 用途
AP Calculus AB（College Board 官方课程页） 考制、题数、时间、占分与考试日期
AP Calculus BC（College Board 官方课程页） BC 加考课题与卷制
AP Central：Calculus AB 考试说明 各部分题数、时间与计算机规则（官方原文）
AP Central：Calculus BC 考试说明 BC 各部分题数、时间与计算机规则（官方原文）

延伸阅读：A Level 数学 9709 Paper 1 模拟试题、IB 数学 AA SL 模拟试题、IGCSE 数学 0580 模拟试题、备考练习题总览。想安排 AP Calculus 补习，可先看 学科的解释，再配对合适导师。

注：以上资讯仅供参考，课程与考试安排一律以 College Board 官方公布为准。本卷为原创练习题，并非 AP 官方试题。

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