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A-Level 數學 9709 Paper 1（純數 Pure 1・10 題・100 分・60 分鐘）
練習卷 · A-Level Maths 9709 Paper 1
A-Level 數學 9709 Paper 1 Pure 1 練習卷（10 題・100 分・60 分鐘）：配方法與二次方程、直線與垂直平分線、扇形弧長與弓形面積、二項式展開與係數、三角方程與倍角、微分駐點與切線、定積分求面積、等差等比數列、反函數與絕對值不等式、圓方程與切線。
卷面資料 年級：A-Level ｜ 科目：數學 ｜ 時限：60 分鐘 ｜ 總分：100 分 ｜ 題數：10
甲部 代數、坐標與三角（46 分）
第 1–2 題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 1 | 1. 設 f(x) = 2x² − 8x + 5。 (a) 以配方法把 f(x) 寫成 a(x − b)² + c 的形式。(3 分) (b) 由此寫出曲線 y = f(x) 的頂點坐標及 f 的值域。(2 分) (c) 解方程 f(x) = 0，答案以最簡根式表示。(3 分) |
(a) f(x) = 2(x² − 4x) + 5 = 2[(x − 2)² − 4] + 5 = 2(x − 2)² − 3。 （3 分：抽係數 1 分、完成平方 1 分、常數項 1 分） (b) 頂點 (2, −3)；值域 f(x) ≥ −3。（2 分） (c) 2(x − 2)² = 3 ⇒ (x − 2)² = 3/2 ⇒ x = 2 ± √(3/2) = 2 ± √6⁄2，即 x ≈ 3.2247 或 0.7753。（3 分） 評分要點：只寫頂點而無配方過程最多 1 分；根式未化簡（如 √1.5）扣 1 分；漏「±」不給分。 |
| 2 | 2. 已知 A(1, 2)、B(7, 10)。 (a) 求 AB 的長度。(2 分) (b) 求 AB 的中點 M 的坐標。(1 分) (c) 求 AB 的垂直平分線方程，答案以 ax + by = c 表示。(4 分) (d) 求該垂直平分線與 x 軸的交點。(2 分) |
(a) AB = √[(7 − 1)² + (10 − 2)²] = √(36 + 64) = √100 = 10。（2 分） (b) M = ((1 + 7)/2, (2 + 10)/2) = (4, 6)。（1 分） (c) AB 斜率 = 8/6 = 4/3，故垂直平分線斜率 = −3/4。過 (4, 6)：y − 6 = −3/4(x − 4) ⇒ 4y − 24 = −3x + 12 ⇒ 3x + 4y = 36。（4 分：斜率 2 分、點斜式 1 分、整理 1 分） (d) 令 y = 0，3x = 36 ⇒ x = 12，交點 (12, 0)。（2 分） 評分要點：用錯斜率（直接取 4/3）即 (c)(d) 全錯；垂直條件必須明寫 m₁m₂ = −1。 |
第 3–4 題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 3 | 3. 扇形 OAB 的半徑為 9 cm，圓心角 ∠AOB = 1.2 rad。 (a) 求弧 AB 的長度。(2 分) (b) 求扇形的周界。(2 分) (c) 求扇形的面積。(2 分) (d) 求由弦 AB 與弧 AB 圍成的弓形面積，答案準確至 3 位小數。(4 分) |
(a) 弧長 = rθ = 9 × 1.2 = 10.8 cm。（2 分） (b) 周界 = 2r + 弧長 = 18 + 10.8 = 28.8 cm。（2 分） (c) 面積 = ½r²θ = 0.5 × 81 × 1.2 = 48.6 cm²。（2 分） (d) 三角形 OAB 面積 = ½r²sinθ = 0.5 × 81 × sin 1.2 ≈ 37.7476 cm²。 弓形 = 48.6 − 37.7476 ≈ 10.852 cm²。（4 分：三角形公式 2 分、相減 1 分、單位及捨入 1 分） 評分要點：角必須用弧度；若誤把 1.2 rad 當 1.2° 只給公式分。 |
| 4 | 4. (a) 展開 (3 − 2x)⁵，直至 x³ 項。(4 分) (b) 由此求 (3 − 2x)⁵(1 + x) 中 x² 的係數。(3 分) (c) 以 x = 0.1 代入 (a) 的展開式（取至 x³ 項），求 (3 − 2x)⁵ 的近似值，並與真值比較。(2 分) |
(a) (3 − 2x)⁵ = 243 + 5(3⁴)(−2x) + 10(3³)(−2x)² + 10(3²)(−2x)³ + … = 243 − 810x + 1080x² − 720x³ + …（4 分：每項 1 分） (b) x² 係數 = 1080（來自 (3−2x)⁵ 的 x² 項）+ (−810)（來自 x¹ 項乘 x）= 270。（3 分） (c) 代 x = 0.1：243 − 81 + 10.8 − 0.72 = 172.08；真值 2.8⁵ = 172.10368， 誤差約 0.0237，因已捨去 x⁴、x⁵ 項。（2 分） 評分要點：二項係數必須由 ⁿCᵣ 得出；忘記 (−2x) 的負號與 2 的次方為最常見錯誤。 |
第 5 題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 5 | 5. (a) 證明 3sin²θ − 2cosθ − 2 = 0 可化為 3cos²θ + 2cosθ − 1 = 0。(3 分) (b) 解方程 3sin²θ − 2cosθ − 2 = 0，其中 0° ≤ θ < 360°。(5 分) (c) 由此解 3sin²2x − 2cos2x − 2 = 0，其中 0° ≤ x < 180°。(2 分) |
(a) 用 sin²θ = 1 − cos²θ：3(1 − cos²θ) − 2cosθ − 2 = 0 ⇒ 3 − 3cos²θ − 2cosθ − 2 = 0 ⇒ −3cos²θ − 2cosθ + 1 = 0 ⇒ 3cos²θ + 2cosθ − 1 = 0。（3 分） (b) (3cosθ − 1)(cosθ + 1) = 0 ⇒ cosθ = 1/3 或 cosθ = −1。 cosθ = 1/3 ⇒ θ ≈ 70.5° 或 289.5°；cosθ = −1 ⇒ θ = 180°。（5 分） (c) 2x ≈ 70.5°、180°、289.5° ⇒ x ≈ 35.3°、90°、144.7°。（2 分） 評分要點：只寫 180° 一個解最多 2 分；必須處理 cosθ = −1 的特殊情形。 |
乙部 微積分、數列與圓（54 分）
第 6–7 題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 6 | 6. 曲線 C 的方程為 y = x³ − 6x² + 9x + 2。 (a) 求 dy/dx。(2 分) (b) 求 C 的駐點坐標。(4 分) (c) 判斷各駐點的性質。(3 分) (d) 求 C 在 x = 2 處的切線方程。(2 分) |
(a) dy/dx = 3x² − 12x + 9。（2 分） (b) 3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 或 3。 x = 1 時 y = 6；x = 3 時 y = 2。駐點為 (1, 6) 與 (3, 2)。（4 分） (c) d²y/dx² = 6x − 12。x = 1 時為 −6 < 0，故 (1, 6) 為極大點； x = 3 時為 +6 > 0，故 (3, 2) 為極小點。（3 分） (d) x = 2 時 y = 4、斜率 = -3；y − 4 = -3(x − 2) ⇒ y = −3x + 10。（2 分） 評分要點：只求 x 值而未給 y 坐標扣 2 分；性質判斷須用二階導數或符號表，不可只寫「最高／最低」。 |
| 7 | 7. (a) 求 ∫(6x² − 4x + 3) dx。(3 分) (b) 求曲線 y = 6x² − 4x + 3 與 x 軸、x = 0 及 x = 2 所圍成的面積。(4 分) (c) 求曲線 y = 6x² − 4x + 3 與直線 y = 2x + 3 在 x = 0 至 x = 2 之間所圍成的面積。(3 分) |
(a) ∫(6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C。（3 分：每項 1 分，含 +C） (b) 面積 = [2x³ − 2x² + 3x]₀² = (16 − 8 + 6) − 0 = 14 平方單位。（4 分） (c) 曲線 − 直線 = 6x² − 6x，面積 = ∫₀²(6x² − 6x) dx = [2x³ − 3x²]₀² = 16 − 12 = 4 平方單位。（3 分） 評分要點：面積須為正，若積出負值要取絕對值；未寫上下限代入過程扣 1 分。 |
第 8–10 題
| # | 題目 | 答案與評分要點 |
|---|---|---|
| 8 | 8. 等差數列的首項為 7，公差為 3。 (a) 求第 20 項。(2 分) (b) 求首 20 項之和。(2 分) 等比數列的首項為 8，公比為 3/4。 (c) 求該等比數列至無窮項之和。(3 分) (d) 求最小的 n 使首 n 項之和超過 30。(4 分) |
(a) u₂₀ = 7 + 19 × 3 = 64。（2 分） (b) S₂₀ = 20/2 × (7 + 64) = 710。（2 分） (c) S∞ = a/(1 − r) = 8/(1 − 3/4) = 32。（3 分） (d) Sₙ = 32[1 − (3/4)ⁿ] > 30 ⇒ (3/4)ⁿ < 1/16 ⇒ n > ln(1/16)/ln(3/4) ≈ 9.64 ⇒ n = 10。 驗算：S₉ ≈ 29.597 ≤ 30，S₁₀ ≈ 30.198 > 30。（4 分） 評分要點：(d) 必須以不等式求解並驗算兩邊，只寫「n = 10」無過程最多 2 分。 |
| 9 | 9. 設 f(x) = x² − 4x + 7，其中 x ≥ 2。 (a) 求 f⁻¹(x)，並寫出其定義域。(4 分) (b) 解 |2x − 5| = x + 1。(4 分) (c) 解不等式 |2x − 5| < x + 1。(4 分) |
(a) y = (x − 2)² + 3 ⇒ (x − 2)² = y − 3 ⇒ x = 2 + √(y − 3)（取正根因 x ≥ 2）。 故 f⁻¹(x) = 2 + √(x − 3)，定義域 x ≥ 3。（4 分：配方 1 分、取正根理由 1 分、式 1 分、定義域 1 分） (b) 2x − 5 = x + 1 ⇒ x = 6；2x − 5 = −(x + 1) ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 4/3。 兩者皆合（x = 6 時 7 = 7；x = 4/3 時 7/3 = 7/3）。（4 分） (c) 需 x + 1 > 0，且 −(x + 1) < 2x − 5 < x + 1。 右邊給 x < 6；左邊給 3x > 4 即 x > 4/3。故 4/3 < x < 6。（4 分） 評分要點：(b) 漏第二個情形（絕對值等於負）最多 2 分；(c) 必須處理 x + 1 > 0 的隱含條件。 |
| 10 | 10. 圓 C 的方程為 x² + y² − 6x + 8y − 24 = 0。 (a) 求 C 的圓心及半徑。(3 分) (b) 證明直線 y = 2x − 1 與 C 相交於兩相異點，並寫出相交條件所對應的二次方程。(3 分) (c) 已知點 P(3, 3) 在 C 上，求 C 在 P 處的切線方程。(4 分) |
(a) (x − 3)² + (y + 4)² = 24 + 9 + 16 = 49 ⇒ 圓心 (3, −4)、半徑 7。（3 分） (b) 代入 y = 2x − 1：(x − 3)² + (2x + 3)² = 49 ⇒ 5x² + 6x + 18 − 49 = 0 ⇒ 5x² + 6x − 31 = 0。 判別式 = 6² − 4(5)(−31) = 656 > 0，故有兩相異交點。（3 分） (c) 由圓心 (3, −4) 到 P(3, 3) 的半徑為鉛直線（x = 3），故切線為水平線，即 y = 3。（4 分） 評分要點：(a) 必須完成平方，(b) 必須交代判別式 > 0 的結論，只寫方程不給分。 |
TutorZone 練習卷｜題目與文章為原創，並非任何學校或出版社的教材。
