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DSE 数学练习卷：指数、对数与数列（12 题・100 分・75 分钟）
练习卷 · DSE 数学 指数对数与数列全卷
本卷针对 HKDSE 数学必修部分指数、对数与数列单元设计，共 12 题、满分 100 分、时限 75 分钟。甲部 Q1–Q4（32 分）考指数律、对数与等差数列；乙部 Q5–Q8（36 分）考等比数列、无限和与复利折旧；丙部 Q9–Q12（32 分）考求和符号、求公比与指数方程。所有数值以程式计算并核对。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部 指数与对数
短答与计算题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 化简下列各式（答案用分数或整数表示）：(a) 2⁵ × 2⁻⁸；(b) 27 的 2/3 次方；(c) 81 的 −1/2 次方。 | (a) 2⁵ × 2⁻⁸ = 2⁻³ = 1/8。(b) 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 3² = 9。(c) 81^(−1/2) = 1 ÷ 81^(1/2) = 1 ÷ 9 = 1/9。 |
| 2 | 求下列各值：(a) log₂ 32；(b) log₃（1/9）；(c) 解方程 log₁₀ x + log₁₀ 2 = 3。 | (a) log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5。(b) log₃（1/9）= log₃ 3⁻² = −2。(c) log₁₀(2x) = 3，故 2x = 1000，x = 500。 |
| 3 | 解下列指数方程：(a) 2^(x+1) = 32；(b) 5^(2x) = 125；(c) 由此说明 (a) 与 (b) 的解在数线上哪一个较大。 | (a) 2^(x+1) = 2⁵，故 x + 1 = 5，x = 4。(b) 5^(2x) = 5³，故 2x = 3，x = 3/2。(c) 4 大于 1.5，所以 (a) 的解较大。 |
| 4 | 某等差数列首项为 7，公差为 4。(a) 求第 20 项；(b) 求首 20 项之和；(c) 求首 n 项之和不小于 1000 的最小 n。 | (a) T₂₀ = 7 + 19 × 4 = 83。(b) S₂₀ = 20 × (7 + 83) ÷ 2 = 900。(c) Sₙ = n(4n + 10) ÷ 2 = 2n² + 5n；解 2n² + 5n 不小于 1000，得最小 n = 22。 |
乙部 等差与等比数列
应用与情境题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 某等比数列首项为 3，公比为 2。(a) 求第 10 项；(b) 求首 10 项之和；(c) 判断首 10 项之和的末位数字，并说明理由。 | (a) T₁₀ = 3 × 2⁹ = 1536。(b) S₁₀ = 3 × (2¹⁰ − 1) ÷ (2 − 1) = 3,069。(c) 末位为 9；因 3 × 1023 = 3069，个位由 3 × 3 得 9。 |
| 6 | 某无限等比数列首项为 8，公比为 0.6。(a) 求第 3 项；(b) 说明该数列为何有无限和，并求无限和；(c) 求首 4 项之和。 | (a) T₃ = 8 × 0.6² = 2.88。(b) 因公比的绝对值小于 1，无限和存在：S∞ = 8 ÷ (1 − 0.6) = 20。(c) S₄ = 8 × (1 − 0.6⁴) ÷ 0.4 = 8 × 0.8704 ÷ 0.4 = 17.408。 |
| 7 | 某人存入 50,000 元，年利率 4%，每年复利一次，为期 3 年。(a) 求 3 年后的本利和；(b) 求利息总额；(c) 若改为单利，利息会少收多少？ | (a) 本利和 = 50,000 × 1.04³ = 56,243.20 元。(b) 利息 = 56,243.20 − 50,000 = 6,243.20 元。(c) 单利利息 = 50,000 × 4% × 3 = 6,000 元，故少收 243.20 元。 |
| 8 | 一部机器原值 240,000 元，每年按 15% 折旧（余额递减法）。(a) 求 4 年后的价值；(b) 求这 4 年的总折旧额；(c) 求价值首次低于 150,000 元时的年数。 | (a) 4 年后价值 = 240,000 × 0.85⁴ = 125,281.50 元。(b) 总折旧额 = 240,000 − 125,281.50 = 114,718.50 元。(c) 第 3 年值 240,000 × 0.85³ = 147,390 元，已低于 150,000，故为第 3 年。 |
丙部 求和、复利与指数方程
综合运算题
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 求下列各和：(a) Σ（k 由 1 到 10）(3k − 2)；(b) Σ（k 由 1 到 8）2^(k−1)；(c) 比较两者的增长方式。 | (a) 首项 1、末项 28、共 10 项：和 = 10 × (1 + 28) ÷ 2 = 145。(b) 首项 1、公比 2、共 8 项：和 = 1 × (2⁸ − 1) ÷ 1 = 255。(c) (a) 为等差和，随项数线性增长；(b) 为等比和，随项数指数增长。 |
| 10 | 某等比数列第 3 项为 12，第 6 项为 96。(a) 求公比；(b) 求首项；(c) 求第 9 项。 | (a) T₆ ÷ T₃ = r³ = 8，故 r = 2。(b) 首项 = 12 ÷ 2² = 3。(c) T₉ = 3 × 2⁸ = 768。 |
| 11 | 某培养皿的细菌数目 N = 500 × 3^t，t 为小时。(a) 求 N = 40,500 时的 t；(b) 求 N = 4,500 时的 t；(c) 由 (a) 与 (b) 说明 t 每增加 1 小时，N 的变化。 | (a) 3^t = 81，故 t = 4。(b) 3^t = 9，故 t = 2。(c) 由 t = 2 到 t = 4 共 2 小时，N 由 4,500 增至 40,500 即 9 倍，故每小时乘 3。 |
| 12 | 解方程 3^(2x) − 4 × 3^x + 3 = 0。（提示：设 y = 3^x）写出全部实数解，并验算其中一个解。 | 设 y = 3^x，方程化为 y² − 4y + 3 = 0，即 (y − 1)(y − 3) = 0，故 y = 1 或 y = 3。由 3^x = 1 得 x = 0；由 3^x = 3 得 x = 1，即 x = 0 或 x = 1。验算 x = 0：3⁰ − 4 × 3⁰ + 3 = 1 − 4 + 3 = 0。 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。