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DSE 数学练习卷：指数、对数与数列（12 题・100 分）
练习卷 · DSE 数学指数对数与数列全卷
DSE 数学练习卷：指数、对数与数列，12 题共 100 分、75 分钟，涵盖指数定律与化简、对数定律与对数方程、等差与等比数列的通项及求和、无限等比数列之和，以及人口增长与半衰期等应用模型，附完整答案与评分要点。
卷面资料 年级：中六（S6） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：指数与对数运算（第 1 至 4 题，共 24 分）
回答全部题目；计算题须列出公式、代入数值及单位，并在必要时取四位小数。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 化简下列各题。(a) 2³ × 2⁻⁵，答案以分数表示。 (b) (3x²)³ ÷ 9x⁴。 (c) 求 log₂ 32 的值。（6 分） | (a) 2³ × 2⁻⁵ = 2^(3 − 5) = 2⁻² = 1/4〔指数相加 1 分；答案 1 分〕 (b) (3x²)³ = 27x⁶，除以 9x⁴ 得 3x²〔2 分〕 (c) 32 = 2⁵，故 log₂ 32 = 5〔指数式与对数式互换 1 分；答案 1 分〕 |
| 2 | 解下列方程。(a) log₃(x + 2) = 2。 (b) 2^(x + 1) = 16。（6 分） | (a) log₃(x + 2) = 2 即 x + 2 = 3² = 9，故 x = 7〔化成指数式 1 分；解方程 1 分；答案 1 分〕 (b) 16 = 2⁴，故 x + 1 = 4，x = 3〔同底比较 2 分；答案 1 分〕 |
| 3 | 已知 log 2 = 0.3010 及 log 3 = 0.4771（四位小数）。(a) 求 log 12。 (b) 求 log 1.5。 (c) 求 log 8。（6 分） | (a) log 12 = log(2² × 3) = 2 log 2 + log 3 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791〔1 分〕 (b) log 1.5 = log(3 ÷ 2) = 0.4771 − 0.3010 = 0.1761〔1 分〕 (c) log 8 = log 2³ = 3 log 2 = 0.9030〔1 分，须写四位小数〕 |
| 4 | (a) 解 3^(2x) = 27^(x − 1)。 (b) 求 log₅(1/25) 的值。（6 分） | (a) 27 = 3³，故 3^(2x) = 3^(3x − 3)，比较指数得 2x = 3x − 3，x = 3〔2 分；答案 1 分〕 (b) 1/25 = 5⁻²，故 log₅(1/25) = −2〔1 分；答案 2 分，须为负数〕 |
乙部：等差与等比数列（第 5 至 8 题，共 32 分）
解方程须写出关键步骤，并检查答案是否在定义域之内。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 等差数列首项为 7，公差为 −3。(a) 求通项 T(n)。 (b) 求 T(10)。 (c) 求首 15 项之和 S(15)。 (d) 求首个负项。（8 分） | (a) T(n) = 7 + (n − 1)(−3) = 10 − 3n〔2 分〕 (b) T(10) = 10 − 30 = −20〔2 分〕 (c) S(15) = 15/2 × (2 × 7 + 14 × (−3)) = 7.5 × (−28) = −210〔公式 1 分；代入 1 分；答案 1 分〕 (d) 令 10 − 3n 小于 0 得 n 大于 10/3，故首个负项为 T(4) = −2〔1 分〕 |
| 6 | 等比数列首项为 3，公比为 2。(a) 写出通项 T(n)。 (b) 求 T(8)。 (c) 求 S(10)。 (d) 求最小 n 使 T(n) 大于 1000。（8 分） | (a) T(n) = 3 × 2^(n − 1)〔2 分〕 (b) T(8) = 3 × 2⁷ = 384〔2 分〕 (c) S(10) = 3(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 3 × 1023 = 3069〔2 分〕 (d) 3 × 2^(n − 1) 大于 1000 即 2^(n − 1) 大于 333.3，n − 1 ≥ 9，故 n = 10（T(10) = 1536）〔2 分〕 |
| 7 | 等比数列首项为 8，公比为 3/4。(a) 求无限和 S(∞)。 (b) 求 T(4)。 (c) 求 S(5)。 (d) 写出公比须满足的条件，使无限和存在。（8 分） | (a) S(∞) = 8 ÷ (1 − 3/4) = 8 ÷ 1/4 = 32〔2 分〕 (b) T(4) = 8 × (3/4)³ = 8 × 27/64 = 27/8 = 3.375〔2 分〕 (c) S(5) = 8(1 − (3/4)⁵) ÷ (1/4) = 32 × 0.762695… = 781/32 ≈ 24.41〔2 分〕 (d) 公比的绝对值小于 1，即 −1 小于 r 小于 1〔2 分〕 |
| 8 | 某市人口为 200 000，每年增长 5%。(a) 写出 n 年后人口的表示式。 (b) 求 5 年后人口（取整数）。 (c) 求最小 n 使人口超过 300 000。（8 分） | (a) P(n) = 200 000 × 1.05^n〔2 分〕 (b) P(5) = 200 000 × 1.05⁵ = 255 256.3，即约 255 256 人〔2 分；取整 1 分〕 (c) 1.05^n 大于 1.5，取对数得 n 大于 8.31，故 n = 9〔2 分；答案 1 分〕 |
丙部：方程、应用与论述（第 9 至 12 题，共 44 分）
应用题须说明所用的数列或函数模型，并以完整句子解释结论。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | (a) 解 4^x − 5(2^x) + 4 = 0。 (b) 解 log x + log(x − 3) = 1。（10 分） | (a) 设 y = 2^x，方程化为 y² − 5y + 4 = 0，y = 1 或 4，故 x = 0 或 2〔代换 2 分；解二次 2 分；答案 1 分〕 (b) log[x(x − 3)] = 1 即 x² − 3x − 10 = 0，x = 5 或 −2；因对数定义域须 x 大于 3，故 x = 5（−2 舍去）〔方程 2 分；解 1 分；舍根 1 分；答案 1 分〕 |
| 10 | 礼堂第一排有 15 个座位，其后每排比前一排多 2 个，共 20 排。(a) 求第 20 排座位数。 (b) 求全场座位总数。 (c) 若场地最多容纳 700 人，20 排是否足够？并求最多可设的排数。（10 分） | (a) 第 20 排 = 15 + 19 × 2 = 53 个座位〔3 分〕 (b) S(20) = 20/2 × (15 + 53) = 10 × 68 = 680〔4 分〕 (c) 20 排提供 680 座，少于 700，足够；S(21) = 21/2 × (15 + 55) = 735 已超上限，故最多 20 排〔判断 1 分；计算 2 分〕 |
| 11 | 数列 5, 15, 45, … (a) 证明此数列为等比数列，并求 T(6)。 (b) 求 S(6)。 (c) 求最小 n 使 S(n) 大于 5000。（12 分） | (a) 15 ÷ 5 = 3，45 ÷ 15 = 3，公比固定为 3，故为等比数列；T(6) = 5 × 3⁵ = 1215〔证明 2 分；答案 2 分〕 (b) S(6) = 5(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 5 × 728 ÷ 2 = 1820〔3 分〕 (c) 5(3^n − 1)/2 大于 5000 即 3^n 大于 2001；3⁷ = 2187 已足够，故 n = 7（S(7) = 5465）〔不等式 2 分；试算 2 分；答案 1 分〕 |
| 12 | 某放射性样本质量 80 mg，半衰期为 6 小时。(a) 写出 t 小时后质量 m(t) 的表示式。 (b) 求 18 小时后的质量。 (c) 求最少多少个整数小时后，质量低于 5 mg。（12 分） | (a) m(t) = 80 × (1/2)^(t/6)〔3 分〕 (b) m(18) = 80 × (1/2)³ = 80 ÷ 8 = 10 mg〔4 分〕 (c) 80 × (1/2)^(t/6) 小于 5 即 (1/2)^(t/6) 小于 1/16，故 t/6 大于 4，t 大于 24；最少 25 小时〔不等式 2 分；对数或试算 2 分；答案 1 分〕 |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
