中文（繁體）
中文（简体）
English
HKDSE 数学延伸部分单元一（M1）模拟卷（8 题・100 分）
练习卷 · HKDSE 数学 M1
HKDSE 数学延伸部分单元一（M1）模拟卷，全卷 8 题、100 分、限时 2 小时 30 分。甲部 50 分：二项式定理、指数与对数方程、乘积与连锁法则求导及切线、定积分与曲线下面积。乙部 50 分：梯形法则数值积分、二项分布、泊松分布、正态分布与标准化。题目与答案 100% 原创，附逐题评分要点。
卷面资料 年级：中四至中六（HKDSE） ｜ 科目：数学（延伸单元一） ｜ 时限：150 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：8
甲部：二项式、指数与对数、求导与积分（50 分）
结构题：须写出完整步骤、代入过程及单位；概率答案须先写分布及参数。全卷 8 题，共 100 分，时限 2 小时 30 分，可使用计算机。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | (a) 将 (1 ＋ 2x)7 展开至 x³ 项（即列出常数项至 x³ 的系数）。 (b) 求 (1 − 3x)9 展开式中 x⁴ 的系数。 |
答案：(a) 由二项式定理，系数为 C(7,k)·2^k：x⁰＝1、x¹＝14、x²＝84、x³＝280，故 (1 ＋ 2x)⁷ ＝ 1 ＋ 14x ＋ 84x² ＋ 280x³ ＋ …。(b) 一般项为 C(9,r)(−3x)^r，取 r＝4：C(9,4)×(−3)⁴ ＝ 126 × 81 ＝ 10206。（评分要点：须写出二项式一般项；只写答案而无展开步骤最多得一半分） |
| 2 | (a) 解方程 2x+1 ＝ 52x，答案准确至 3 位有效数字。 (b) 解方程 log₂x ＋ log₂(x − 3) ＝ 2，并说明为何要舍去其中一个根。 |
答案：(a) 两边取自然对数：(x ＋ 1)ln2 ＝ 2x·ln5，整理得 x(2ln5 − ln2) ＝ ln2，故 x ＝ ln2 ÷ (2ln5 − ln2) ＝ 0.2744 ≈ 0.274。(b) 合并对数：log₂[x(x − 3)] ＝ 2，即 x² − 3x ＝ 4，x² − 3x − 4 ＝ 0，(x − 4)(x ＋ 1) ＝ 0，得 x ＝ 4 或 x ＝ −1；因对数要求 x ＞ 3，故舍去 x ＝ −1，答案 x ＝ 4。（评分要点：漏写定义域检查扣 2 分） |
| 3 | 设 y ＝ x²e3x。 (a) 求 dy/dx，并以乘积法则及连锁法则说明步骤。 (b) 求曲线在 x ＝ 1 处的切线方程，答案以 e 表示。 |
答案：(a) 设 u ＝ x²、v ＝ e^3x，u′ ＝ 2x、v′ ＝ 3e^3x；dy/dx ＝ 2x·e^3x ＋ x²·3e^3x ＝ e^3x(2x ＋ 3x²)。(b) x ＝ 1 时 y ＝ e³，斜率 ＝ e³(2 ＋ 3) ＝ 5e³ ＝ 100.4；切线：y − e³ ＝ 5e³(x − 1)，即 y ＝ 5e³x − 4e³（y 截距 −4e³ ＝ 20.1）。（评分要点：漏乘 v′ 只得一半分；切线须用点斜式并化简） |
| 4 | 曲线 y ＝ x² − x − 2 与 x 轴相交于 A、B 两点。 (a) 求 A、B 的坐标。 (b) 求曲线与 x 轴所围成的区域面积，答案以分数表示。 |
答案：(a) 令 x² − x − 2 ＝ 0，(x − 2)(x ＋ 1) ＝ 0，故 A(−1, 0)、B(2, 0)。(b) 面积 ＝ |∫(−1→2)(x² − x − 2)dx|，原函数为 x³/3 − x²/2 − 2x；代入 2 得 -3.3333，代入 −1 得 1.1667，面积 ＝ |-3.3333 − (1.1667)| ＝ 4.5000 ＝ 9/2 平方单位。（评分要点：须写出原函数及上下限；漏绝对值而负数作答扣 2 分） |
乙部：数值积分、离散与连续概率分布（50 分）
结构题：须写出完整步骤、代入过程及单位；概率答案须先写分布及参数。全卷 8 题，共 100 分，时限 2 小时 30 分，可使用计算机。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 下表为函数 f(x) 在五个点的取值：x ＝ 0、0.5、1.0、1.5、2.0 时，f(x) 分别为 1.000、1.284、1.649、2.117、2.718。 (a) 用梯形法则（5 个测点、4 个小区间）估算 ∫₀²f(x)dx，答案准确至 3 位小数。 (b) 说明若把区间数目加倍，估算值一般会如何改变，并指出梯形法则的误差方向。 |
答案：(a) 步长 h ＝ 0.5，梯形法则：h/2 × [f₀ ＋ f₄ ＋ 2(f₁ ＋ f₂ ＋ f₃)]，＝ 0.25 × [1.000 ＋ 2.718 ＋ 2 × (1.284 ＋ 1.649 ＋ 2.117)]＝ 0.25 × 13.818 ＝ 3.4545 ≈ 3.454。(b) 区间数目加倍（h 减半）时，梯形法则为二阶方法，误差约按 1/4 缩小，估算值会趋近真值；对上凸或下凹曲线其误差有固定方向（凸向下时偏低、凸向上时偏高），故不能一概而论。（评分要点：须写出加权 2 的中间项；只写公式未代数值扣 2 分） |
| 6 | 设随机变数 X 服从二项分布 B(20, 0.3)。 (a) 求 P(X ＝ 6)，答案准确至 4 位小数。 (b) 求 P(X ≥ 2)，并写出 E(X) 及 Var(X)。 |
答案：(a) P(X ＝ 6) ＝ C(20,6)(0.3)⁶(0.7)¹⁴ ＝ 38760 × 0.000729 × 0.0067822 ≈ 0.1916。(b) P(X ≥ 2) ＝ 1 − P(X ＝ 0) − P(X ＝ 1) ＝ 1 − 0.0007979 − 0.0068393 ≈ 0.9924；E(X) ＝ np ＝ 20 × 0.3 ＝ 6，Var(X) ＝ np(1 − p) ＝ 6 × 0.7 ＝ 4.2。（评分要点：须写出二项分布公式；用 1 − P(X≤1) 时须列两项） |
| 7 | 设某十字路口的车辆到达数目服从泊松分布，平均每 30 秒有 4 辆车到达，记 X 为 30 秒内的到达数目。 (a) 求 P(X ＝ 3)，答案准确至 4 位小数。 (b) 求 P(X ≤ 1)，并求 15 秒内没有车辆到达的概率。 |
答案：(a) X ~ Po(4)，P(X ＝ 3) ＝ e⁻⁴ × 4³ ÷ 3! ＝ 0.0183156 × 64 ÷ 6 ≈ 0.1954。(b) P(X ≤ 1) ＝ e⁻⁴(1 ＋ 4) ≈ 0.0916；15 秒内平均 2 辆，故 P(无车) ＝ e⁻² ＝ 0.1353。（评分要点：泊松公式须写出 λ；15 秒一段须先把 λ 换成 2，直接沿用 4 扣 3 分） |
| 8 | 设某考试成绩 X 服从正态分布，平均值 50 分、标准差 10 分。 (a) 求 P(X ＞ 62) 及 P(45 ＜ X ＜ 65)，各准确至 4 位小数。 (b) 若只有最高 10% 考生获甲级，求甲级的最低分数 k（准确至 1 位小数），并解释所用的标准分。 |
答案：(a) 标准化 z ＝ (x − 50)/10；P(X ＞ 62) ＝ P(Z ＞ 1.2) ≈ 0.1151；P(45 ＜ X ＜ 65) ＝ P(−0.5 ＜ Z ＜ 1.5) ≈ 0.6247。(b) 需 P(Z ＜ z₀) ＝ 0.9，查表 z₀ ≈ 1.2816，故 k ＝ 50 ＋ 1.2816 × 10 ＝ 62.8 分。（评分要点：须写出标准化步骤；直接用原值查表不给分） |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
