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HKDSE 数学延伸部分单元二（M2）模拟卷｜8 题・100 分・2 小时 30 分
练习卷 · HKDSE 数学延伸部分单元二（M2）
HKDSE 数学延伸部分单元二（M2）模拟卷：8 题、100 分、2 小时 30 分，覆盖数学归纳法、二项式定理、三角恒等式、极限与导数、积分技巧、矩阵与逆矩阵、向量点积与叉积、行列式与 Cramer 法则，附完整步骤与评分要点，数值全部由 Python 核算，题目原创。
卷面资料 年级：中六（DSE） ｜ 科目：数学（延伸单元二） ｜ 时限：150 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：8
甲部：短题（50 分）
全卷 100 分，考试时间 2 小时 30 分。须列出完整步骤，答案须附正确单位；除特别指明外，数值答案须准确至 3 位有效数字。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | （数学归纳法）(a) 用数学归纳法证明：对所有正整数 n，1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6。（6 分）(b) 由此求 1² + 2² + … + 10² 的值。（3 分）(c) 由此求 11² + 12² + … + 20² 的值。（3 分） | 答案：(a) 设 P(n) 为该命题。当 n = 1 时，左式 = 1² = 1，右式 = 1×2×3 ÷ 6 = 1，P(1) 成立。假设 P(k) 成立，即 1² + … + k² = k(k + 1)(2k + 1) ÷ 6，则 n = k + 1 时左式 = k(k + 1)(2k + 1) ÷ 6 + (k + 1)² = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)] ÷ 6 = (k + 1)(2k² + 7k + 6) ÷ 6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) ÷ 6，即 P(k + 1) 成立。由归纳法原理，P(n) 对所有正整数 n 成立。〔6 分〕(b) 代入 n = 10：385。〔3 分〕(c) 11² + 12² + … + 20² = 2870 − 385 = 2485。〔3 分〕 |
| 2 | （二项式定理）(a) 求 (2 + x)⁸ 的展开式中 x³ 的系数。（4 分）(b) 求 (1 + 3x)⁶ 的展开式中 x² 的系数。（4 分）(c) 求 (2 + x)⁸ 的展开式中所有系数之和。（4 分） | 答案：(a) 通项为 C(8, r)·2^(8−r)·x^r，取 r = 3 得系数 C(8, 3)·2⁵ = 56 × 32 = 1792。〔4 分〕(b) 通项为 C(6, r)·(3x)^r，取 r = 2 得系数 C(6, 2)·3² = 15 × 9 = 135。〔4 分〕(c) 令 x = 1，系数之和 = (2 + 1)⁸ = 3⁸ = 6561。〔4 分〕 |
| 3 | （三角学）A 及 B 均为锐角，且 sin A = 3/5、cos B = 5/13。(a) 求 sin(A + B) 的值。（4 分）(b) 求 cos 2A 的值。（4 分）(c) 求 tan(A − B) 的值。（4 分） | 答案：(a) 因 A 为锐角，cos A = 4/5；因 B 为锐角，sin B = 12/13。sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B = (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65。〔4 分〕(b) cos 2A = 1 − 2sin²A = 1 − 2(9/25) = 7/25。〔4 分〕(c) tan A = 3/4、tan B = 12/5，故 tan(A − B) = (tan A − tan B) ÷ (1 + tan A tan B) = (−33/20) ÷ (56/20) = −33/56。〔4 分〕 |
| 4 | （极限与导数）(a) 求 lim(x→0) sin 3x ÷ (2x)。（3 分）(b) 求 lim(x→0) (1 − cos x) ÷ x²。（3 分）(c) 设 y = x³ − 3x² + 4x − 5，求 dy/dx，并求曲线在 x = 2 处的切线方程。（4 分）(d) 求 d/dx [x² sin x]。（4 分） | 答案：(a) sin 3x ÷ (2x) = (3/2)·(sin 3x ÷ 3x)，当 x→0 时 sin 3x ÷ 3x → 1，故极限为 3/2。〔3 分〕(b) 1 − cos x = 2sin²(x/2)，故 (1 − cos x) ÷ x² = 2sin²(x/2) ÷ x² = (1/2)·[sin(x/2) ÷ (x/2)]² → 1/2。〔3 分〕(c) dy/dx = 3x² − 6x + 4；在 x = 2 时 dy/dx = 4，y = -1，切线为 y = 4x -9。〔4 分〕(d) 由乘积法则，d/dx [x² sin x] = 2x sin x + x² cos x。〔4 分〕 |
乙部：长题（50 分）
全卷 100 分，考试时间 2 小时 30 分。须列出完整步骤，答案须附正确单位；除特别指明外，数值答案须准确至 3 位有效数字。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | （积分）(a) 求 ∫₀¹ x(x² + 1)³ dx。（6 分）(b) 求 ∫ x sin x dx。（6 分） | 答案：(a) 令 u = x² + 1，则 du = 2x dx；当 x = 0 时 u = 1，当 x = 1 时 u = 2。∫₀¹ x(x² + 1)³ dx = (1/2)∫₁² u³ du = (1/2)[u⁴/4]₁² = (1/8)(16 − 1) = 15/8。〔6 分〕(b) 用分部积分，取 u = x、dv = sin x dx，则 du = dx、v = −cos x，∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C。〔6 分〕 |
| 6 | （矩阵）设 A = [[2, 1], [3, 4]]。(a) 求 det A。（2 分）(b) 求 A⁻¹。（4 分）(c) 用 (b) 的结果解方程组 2x + y = 7、3x + 4y = 18。（6 分） | 答案：(a) det A = (2)(4) − (1)(3) = 5。〔2 分〕(b) A⁻¹ = (1/5)·[[4, −1], [−3, 2]]。〔4 分〕(c) 方程组可写成 A·[x, y]ᵀ = [7, 18]ᵀ，故 [x, y]ᵀ = A⁻¹·[7, 18]ᵀ；x = (4×7 − 1×18) ÷ 5 = 10/5 = 2，y = (−3×7 + 2×18) ÷ 5 = 15/5 = 3。〔6 分〕 |
| 7 | （向量）设 a = (1, 2, −1)、b = (3, −1, 2)。(a) 求 a·b。（3 分）(b) 求 a × b。（5 分）(c) 求 a 与 b 之间的夹角 θ（准确至 0.1°）。（5 分） | 答案：(a) a·b = (1)(3) + (2)(−1) + (−1)(2) = 3 − 2 − 2 = −1。〔3 分〕(b) a × b = ((2)(2) − (−1)(−1), (−1)(3) − (1)(2), (1)(−1) − (2)(3)) = (4 − 1, −3 − 2, −1 − 6) = (3, -5, -7)。〔5 分〕(c) |a| = √6、|b| = √14，cos θ = a·b ÷ (|a||b|) = −1 ÷ √84 ≈ −0.1091，故 θ ≈ 96.3°。〔5 分〕 |
| 8 | （行列式与方程组）考虑方程组 x + 2y + 3z = 14、2x − y + z = 3、3x + y − 2z = −1。(a) 求系数矩阵的行列式 D。（5 分）(b) 用 Cramer 法则求 x、y、z。（8 分） | 答案：(a) D = 1[(−1)(−2) − (1)(1)] − 2[(2)(−2) − (1)(3)] + 3[(2)(1) − (−1)(3)] = 1(1) − 2(−7) + 3(5) = 1 + 14 + 15 = 30。〔5 分〕(b) Dx = 30、Dy = 60、Dz = 90，故 x = 30/30 = 1、y = 60/30 = 2、z = 90/30 = 3。（各 2 分，共 8 分要有步骤） |
TutorZone 练习卷｜题目与文章为原创，并非任何学校或出版社的教材。
