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IB 数学 AA SL 刷题方法＋历年试题（Paper 2）：GDC 延伸题 10 题附答案
TUTORZONE 原创刷题模拟卷 · IB 数学 AA（分析与方法）SL 卷二 GDC 延伸题
依 IBO 科目简介（首次评核 2021）编写：AA 卷二必须使用图形显示计算机（GDC），分甲部短答题与乙部延伸答题，SL 全卷 1 小时 30 分钟、80 分、占 40%；卷一则不准使用科技、同样 80 分。本卷 10 题（甲部 6 题＋乙部 4 题、共 80 分），配逐题 GDC 做法、答案与刷题技巧。
问：IB 数学 AA SL 卷二考什么、占多少分？
直接答案：1 小时 30 分钟、80 分、占 40%，必须使用图形显示计算机（GDC）：甲部必答短答题、乙部必答延伸答题。卷一同样 80 分，但不准使用科技。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（不准使用科技） | 必答短答题＋延伸答题；80 分 | SL 40% | 1 小时 30 分钟 |
| Paper 2（本卷，必须用 GDC） | 甲部短答＋乙部延伸答题；80 分 | SL 40% | 1 小时 30 分钟 |
| 数学探究（内部评核） | 建议 15 小时课时，于 150 小时课程内完成 | 20% | 课程内完成 |
IB 数学 AA SL 卷二刷题技巧：见题先想“这题要 GDC 还是手算”——求根、交点、定积分、正态概率、反函数用 GDC；证明、化简、精确值仍要手写步骤。每个数值答案最后写成三位有效数字（角度一位小数），并写出单位。做完甲部即时复核一次，因为乙部会用到甲部的结果。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创刷题模拟卷：题目按 IB 数学 AA SL 卷二的格式自行编写，答案为自行撰写，并非 IB 历届试题、官方评卷参考或 IB 出版材料。
本卷全部数值答案由程式独立计算并核对，包括正态分布概率、回归预测值与运动学的总距离，避免答案与题目数据不一致。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（不准使用科技） | SL 40% | 手算：精确根式、分数与代数变形 | 考手算与推导，不用计算机 |
| Paper 2（本卷，必须用 GDC） | SL 40% | 甲部约 40 分钟、乙部约 45 分钟，留 5 分钟复核 | 先画图或建模，再用 GDC 求值并诠释 |
| 数学探究（内部评核） | 20% | 分阶段完成，不要留到最后两星期 | 自选题材、数学建模与反思 |
问：卷二应该先做甲部还是乙部？
直接答案：先做甲部（短答、每题 8 分），约 40 分钟完成；再做乙部（延伸、32 分），约 45 分钟，最后留 5 分钟复核。乙部常引用甲部的结果，顺序做可以省时间。
甲部：短答题（6 题，48 分）
每题 8 分，建议 40 分钟；先按题意选 GDC 或手算。
第 1 题 （8 分）
设 x² − 6x + 4 = 0。用图形显示计算机求方程的两个根，答案准确至三位有效数字。
第 2 题 （8 分）
设 f(x) = x³ − 9x² + 24x − 16。(a) 求 f′(x)。(b) 求 f 的极大点与极小点的座标，并指出哪一点是极大、哪一点是极小。
第 3 题 （8 分）
求曲线 y = 2x 与 y = x² 所围区域的面积。（提示：先用 GDC 找交点。）
第 4 题 （8 分）
一等比数列的第 3 项为 12、第 6 项为 96。求公比 r、首项 u₁ 及首 8 项之和 S₈。
第 5 题 （8 分）
在三角形 ABC 中，AB = 7 cm、AC = 9 cm、∠BAC = 52°。求 BC 的长度及三角形的面积，答案准确至三位有效数字。
第 6 题 （8 分）
设 X 服从正态分布，平均值为 50、标准差为 8。(a) 求 P(X > 60)。(b) 求只有 10% 的观测值高于的数值。
乙部：延伸答题（4 题，32 分）
每题 8 分，建议 45 分钟；要写出建模、代入与诠释三个部分。
第 1 题 （8 分）
一杯热饮的温度 T（°C）随时间 t（分钟）变化，模型为 T(t) = 20 + 60e^(−0.05t)。(a) 求 t = 10 时的温度。(b) 求温度降至 30 °C 所需的时间。
第 2 题 （8 分）
某校调查每周刷题时数 x 与模拟考分数 y，得出最小平方回归直线 y = 2.4x + 1.3，x 介乎 2 至 10 小时。(a) 预测每周刷题 12 小时的分数。(b) 解释斜率 2.4 的意义，并评论 (a) 的预测是否可靠。
第 3 题 （8 分）
设 A、B 为两事件，已知 P(A) = 0.6、P(B) = 0.5、P(A ∩ B) = 0.3。(a) 求 P(A | B)。(b) 求 P(A ∪ B)。(c) 判断 A 与 B 是否独立，并说明理由。
第 4 题 （8 分）
质点沿直线运动，其位移（米）为 s(t) = t³ − 6t² + 9t（t 以秒计）。(a) 求 t = 2 时的速度与加速度。(b) 求前 2 秒内质点移动的总距离。
问：这份卷操练哪些课题？
直接答案：GDC 求根与判别式、导数与极值、定积分与面积、等比数列、余弦定理与面积、正态分布与反函数、指数模型、最小平方回归、条件概率与独立性、运动学总距离。
甲部答案与 GDC 做法
第 1 题
①GDC 做法：用多项式求根功能，或画 y = x² − 6x + 4 找与 x 轴的交点（4 分）；②答案：x = 5.24 及 x = 0.764（4 分）。验算：两根之和 5.236 + 0.764 = 6.000，等于 −b/a；判别式 36 − 16 = 20 > 0，故有两个实根。
第 2 题
(a) f′(x) = 3x² − 18x + 24（3 分）。(b) 令 f′(x) = 0：3(x − 2)(x − 4) = 0，得 x = 2 或 x = 4（2 分）；f(2) = 4、f(4) = 0（2 分）；f″(x) = 6x − 18，f″(2) = −6 < 0 故 (2, 4) 为极大点，f″(4) = 6 > 0 故 (4, 0) 为极小点（1 分）。
第 3 题
①交点：2x = x² → x(x − 2) = 0 → x = 0 或 x = 2（2 分）；②积分式：面积 = ∫₀² (2x − x²) dx（2 分）；③计算：[x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1.33（4 分）。GDC 可直接算定积分，但写出积分式才拿到方法分。
第 4 题
①u₆ ÷ u₃ = r³ = 96 ÷ 12 = 8 → r = 2（3 分）；②u₁ = u₃ ÷ r² = 12 ÷ 4 = 3（2 分）；③S₈ = 3(2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 255 = 765（3 分）。
第 5 题
①余弦定理：BC² = 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos 52° = 130 − 126 cos 52°（4 分）；②BC = 7.24 cm（2 分）；③面积 = ½ × 7 × 9 × sin 52° = 24.8 cm²（2 分）。开机先确认角度模式是 DEG；GDC 没设 DEG 会算错 52° 的余弦值。
第 6 题
(a) 标准化：z = (60 − 50) ÷ 8 = 1.25（2 分），P(X > 60) = 0.106（2 分）。(b) 用 GDC 的 inverse normal，输入面积 0.9：x = 60.3（4 分）。正态分布功能要输入标准差 8，不是变异数 64。
乙部答案与评分要点
第 1 题
(a) T(10) = 20 + 60e^(−0.5) = 56.4 °C（4 分）。(b) 20 + 60e^(−0.05t) = 30 → e^(−0.05t) = 1/6（2 分）；t = ln 6 ÷ 0.05 = 35.8 分钟（2 分）。先化简成 e^(−0.05t) = 1/6 再用 GDC 解方程，比直接画图快一倍。
第 2 题
(a) y = 2.4 × 12 + 1.3 = 30.1（2 分）。(b) 每增加一小时刷题，分数平均增加 2.4 分（3 分）；但 x = 12 已超出数据范围 2 至 10 小时，属外推，回归趋势未必延续，故此预测不可靠（3 分）。
第 3 题
(a) P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0.3 ÷ 0.5 = 0.6（3 分）。(b) P(A ∪ B) = 0.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8（2 分）。(c) 因为 P(A | B) = 0.6 = P(A)，B 的发生不改变 A 的概率，所以 A 与 B 独立（3 分）。
第 4 题
(a) v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9（2 分），v(2) = 12 − 24 + 9 = −3 m/s（1 分）；a(t) = 6t − 12，a(2) = 0（1 分）。(b) t = 1 时 s = 4，t = 2 时 s = 2，t = 1 为折返点，故总距离 = 4 + 2 = 6 米（4 分）。问“总距离”要分段：s(1) − s(0) 与 s(2) − s(1) 各自取绝对值再相加，直接写 s(2) − s(0) 只得 2 米。
问：答案要写几位数字？
直接答案：IB 数学一律取三位有效数字（角度取一位小数），除非题目要求精确值。答案要连单位写，例如 7.24 cm、35.8 分钟、6 米。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 未设 DEG 就计三角 | 直接用 GDC 求 cos 52° | 弧度模式算出完全错误的边长 | 先确认 DEG／RAD，再输入角度 |
| 只写 GDC 答案 | 只抄屏幕上的数字 | 方法分全失，最多得答案分 | 写出公式、代入值与积分式 |
| 求根只写小数 | 两个根写到 5、6 位小数 | IB 要求三位有效数字，会被扣分 | 答案一律三位有效数字 |
| 问总距离却写位移差 | 直接写 s(2) − s(0) | 折返段的距离被抵消，少了一半 | 分段取绝对值再相加 |
怎样用这份卷
第一次刷题：完整计时 1 小时 30 分钟，甲部 40 分钟、乙部 45 分钟，中途不翻笔记，GDC 只用手上型号。
对答案：核对三位有效数字与单位，并检查每个答案是否有写出公式。
第二次刷题：三至七日后重做，目标 1 小时 20 分内完成，并把错过的 GDC 步骤抄入错题本。
问：操完这份卷之后应该做什么？
直接答案：①把未设 DEG、只抄 GDC 答案、总距离写成位移差这三类错误抄入错题本；②三至七日后原卷重做，目标 1 小时 20 分内；③再操同级卷二（AI SL 卷二）或挑战 AA HL 卷一的手算题。
常见问题 FAQ
这份卷同 IB 历届试题有关吗？
没有。题目与答案都是 TutorZone 原创，并非 IB 历届试题、官方评卷参考或 IB 出版材料。
IB 数学 AA SL 卷二考什么？
1 小时 30 分钟、80 分、占 40%，必须用 GDC：甲部短答题＋乙部延伸答题，每个数值答案取三位有效数字。
卷一与卷二分别在哪？
卷一不准使用科技，考手算与推导；卷二必须用 GDC，考建模、选工具与诠释结果。
GDC 要准备什么功能？
多项式求根、函数图像与交点、定积分、正态分布与反函数、统计与回归，都要练到不用翻说明书。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| IB 数学课程页（IBO） | 核对卷一卷二分数与比重 |
| IB 数学 AA SL 模拟卷（Paper 1） | 不准用科技的手算操练 |
| IB 数学 AI SL 卷二模拟卷 | 同级 GDC 卷操练 |
| 备考练习题总览 | IB 各科模拟卷索引 |
同系列：备考练习题总览｜IB 数学 AA SL 卷一（不准用科技）｜IB 数学 AA HL 卷一｜IB 数学 AI SL 卷二
