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IB 數學 AA HL 操卷方法＋歷屆試題（Paper 1）：10 題無計算機精確值練習附答案
TUTORZONE 原創模擬試卷 · IB 數學 AA（分析與方法）HL 卷一
IB 數學 AA（分析與方法）與 AI 最大的分別在於 AA 卷一不准使用計算機，答案須為精確值（根式、分數、π），操卷重點是代數推導與證明。AA HL：Paper 1（無計算機）110 分／2 小時／30%、Paper 2（有計算機）110 分／2 小時／30%、Paper 3（無計算機）55 分／1 小時／20%，數學探究 20%。本卷為 10 題無計算機練習（按卷一題型編寫，本卷共 80 分），附精確值答案。
問：IB 數學 AA HL 卷一考什麼、佔多少？
直接答案：IB 數學 AA（分析與方法）HL 卷一無計算機、110 分、2 小時、佔全科 30%；卷二有計算機 110 分、2 小時、30%；卷三（HL 專屬）無計算機 55 分、1 小時、20%；數學探究佔 20%。AA 卷一無計算機，答案須為精確值（根式、分數、π），這正是與 AI（每份卷都可用 GDC）的分別。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（無計算機） | 必答短答題；HL 110 分、2 小時、佔 30% | HL 30% / SL 40% | 2 小時 |
| Paper 2（有計算機） | 必答延伸答題；HL 110 分、2 小時、佔 30% | HL 30% / SL 40% | 2 小時 |
| Paper 3（HL 專屬，無計算機） | 兩題必答的延伸問題解決題；55 分、1 小時、佔 20% | HL 20% (HL only) | 1 小時 |
| 數學探究（IA） | 兩級均佔 20%；建議 15 小時 | 20% (SL and HL) | 建議 15 小時 |
官方 HL 卷一為 120 分鐘、110 分；本卷 10 題，每題約 11 分鐘。無計算機的失分通常不是計算慢，而是「留了小數而沒有精確值」——AA 卷的答案要根式、分數或 π，不是近似值。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創模擬試卷：題目按 IB 數學 AA 的卷制（HL 卷一無計算機、30%、2 小時）自行編寫，答案為自行演算的精確值，並非 IBO 歷屆試題或官方評卷參考。
本卷 10 題短答共 80 分（官方 HL 卷一為 110 分、2 小時）。所有數值答案已用程式覆核一次；答案以精確值（根式、分數、π）表示，符合 AA 卷一無計算機的要求。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（無計算機） | HL 30% / SL 40% | 約 110 分鐘，留 10 分鐘覆核 | 答案要精確值（根式、分數、π），不能留小數 |
| Paper 2（有計算機） | HL 30% / SL 40% | 延伸答題，可用 GDC | 先列方法再計算 |
| Paper 3（HL 專屬，無計算機） | HL 20% (HL only) | 每題約 26 分鐘 | 先寫解題路線與假設 |
| 數學探究（IA） | 20% (SL and HL) | 選題、推導、計算、詮釋四階段 | 選一個可作數學探究的問題 |
問：這份模擬卷有幾多題、時間怎樣分配？
直接答案：本卷 10 題短答、共 80 分（官方 HL 卷一為 110 分、2 小時），建議 110 分鐘完成、留 10 分鐘覆核（每題約 11 分鐘）。答案一律以精確值（根式、分數、π）表示。
Paper 1：無計算機短答題（10 題，80 分）
全部必答，建議 110 分鐘完成，留 10 分鐘覆核。答案須為精確值。
第 1 題 （8 分）
設複數 z = 2 + 3i。求 z² 及 |z|（以根式表示）。
第 2 題 （8 分）
設向量 a = 3i − 4j、b = i + 2j。求點積 a·b 及 |a|。
第 3 題 （8 分）
一等比數列首項為 2、公比為 3。求前 5 項之和。
第 4 題 （8 分）
在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍內解 sin x = 1/2，並以 π 表示答案。
第 5 題 （8 分）
設 f(x) = x³ − 3x² + 2。求 f′(x) 及 f′(1)。
第 6 題 （8 分）
計算定積分 ∫₁³ (2x + 3) dx。
第 7 題 （8 分）
解方程 log₂(x) = 5。
第 8 題 （8 分）
解方程 2^(x+1) = 8。
第 9 題 （8 分）
設 f(x) = 2x + 1。求反函數 f⁻¹(x)。
第 10 題 （8 分）
一個袋中有 3 個紅球和 5 個藍球。不放回地連續抽出兩個球，求兩個球都是紅色的概率。
問：答案在哪裡？會不會只有答案沒有過程？
直接答案：每題之後都有「精確答案」段落，寫出每一步推導與精確值（例如複數題：展開 4 分、模 4 分），並標明常見失分。不是只有最終答案。
Paper 1 精確答案
第 1 題
①z² = (2+3i)² = 4 + 12i + 9i² = 4 + 12i − 9 = −5 + 12i（4 分）；②|z| = √(2² + 3²) = √13（4 分）。i² = −1，複數乘法要逐項展開。
第 2 題
①a·b = 3×1 + (−4)×2 = 3 − 8 = −5（4 分）；②|a| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5（4 分）。
第 3 題
S₅ = 2(3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2(243 − 1) ÷ 2 = 242（8 分）。等比求和公式 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)。
第 4 題
sin x = 1/2 在 [0, 2π] 的解為 x = π/6 及 x = 5π/6（各 4 分）。正弦在第二象限亦為正，記得補上 π − π/6。
第 5 題
①f′(x) = 3x² − 6x（4 分）；②f′(1) = 3 − 6 = −3（4 分）。逐項求導：d/dx(x³) = 3x²、d/dx(−3x²) = −6x。
第 6 題
∫(2x+3)dx = x² + 3x（4 分）；[x² + 3x]₁³ = (9 + 9) − (1 + 3) = 18 − 4 = 14（4 分）。
第 7 題
log₂(x) = 5 ⇔ x = 2⁵ = 32（8 分）。對數與指數互為逆運算：log₂(x) = 5 即 x = 2⁵。
第 8 題
8 = 2³，故 2^(x+1) = 2³（4 分）；x + 1 = 3 → x = 2（4 分）。先化同底，再比較指數。
第 9 題
設 y = 2x + 1，交換 x、y 得 x = 2y + 1（4 分）；解出 y = (x − 1) ÷ 2，即 f⁻¹(x) = (x − 1)/2（4 分）。
第 10 題
P = 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28（8 分）。不放回：第二次抽取時分母由 8 變 7。
問：AA 卷一無計算機，最容易失分在哪裡？
直接答案：①留小數不留精確值（寫 1.41 而唔寫 √2）；②指數底數未統一就直接比較指數；③不放回概率分母不改。這三項都是「精確值」與「方法」分。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 留小數不留精確值 | 答案寫 1.41 | AA 卷一無計算機，要求根式／分數／π | 答案寫 √2、3/28、π/6 等精確值 |
| 指數底數未統一 | 直接比較指數 | 底數不同不能直接比指數 | 先化同底，再比較指數 |
| 不放回概率分母不改 | 第二次仍除以 8 | 不放回令分母每次遞減 | 第二次抽取時分母改為 7 |
怎樣用這份卷
第一次做：關掉參考資料、完整計時 120 分鐘，中途不用計算機。
對答案：核對每一步，特別是自己有沒有把精確值誤寫成小數。
第二次做：三至七日後重做，目標是同一題用更少時間、答案完全精確。
問：做完這份卷之後應該做什麼？
直接答案：①把漏寫精確值的題目抄入錯題本；②三至七日後重做同一份，目標是答案完全精確；③按課題操練 Paper 2 與 Paper 3 的延伸題與數學探究。
常見問題 FAQ
這份卷同 IBO 試題有關嗎？
沒有。題目、答案與評分要點都是 TutorZone 原創，並非 IBO 試題或官方評卷參考。
AA 的 Paper 1 真的不准用計算機嗎？
是。AA 卷一無計算機，答案須為精確值；這正是 AA 與 AI（每份卷都可用 GDC）的最大分別。
AA HL 有幾份卷？
HL 有三份卷：Paper 1（無計算機）30%、Paper 2（有計算機）30%、Paper 3（無計算機）20%，加數學探究 20%。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| IBO 數學 AA 科目簡介（首次評估 2021） | 核對 SL／HL 各卷比重、時間與無計算機政策 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ib-math-aa-past-paper-drill-guide/ | IB 數學 AA 操卷攻略：代數推導與無計算機答題 |
| https://www.tutorzone.com.hk/ib-math-ai-sl-mock-paper/ | IB 數學 AI SL 模擬卷（每份卷都可用 GDC） |
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