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IB 數學 AI SL 操卷方法＋歷屆試題（Paper 2）：情境建模 10 題附答案
TUTORZONE 原創操卷模擬卷 · IB 數學 AI（應用與詮釋）SL 卷二 GDC 延伸題
依 IBO 科目簡介（首次評核 2021）編寫：AI 的卷二以延伸答題為主、必須使用圖形顯示計算機，SL 全卷 1 小時 30 分鐘、80 分、佔 40%（卷一同樣 80 分、40%）。本卷 10 題真實情境建模題（共 80 分），配逐題答案、模型假設與詮釋，練的是把生活情境轉成數學再讀回情境。
問：IB 數學 AI SL 卷二考什麼、佔多少分？
直接答案：1 小時 30 分鐘、80 分、佔 40%，全部是必答延伸答題、必須使用圖形顯示計算機（GDC），題目一律以真實情境命題。卷一同樣 80 分、40%，但以短答題為主。
考制速覽：2027 年評核結構
| 部分 | 內容 | 比重 | 時間 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（短答，允許科技） | 必答短答題；80 分 | SL 40% | 1 小時 30 分鐘 |
| Paper 2（本卷，必須用 GDC） | 必答延伸答題，全部真實情境；80 分 | SL 40% | 1 小時 30 分鐘 |
| 數學探究（內部評核） | 建議 15 小時課時，於 150 小時課程內完成 | 20% | 課程內完成 |
IB 數學 AI SL 卷二操卷技巧：每題先寫「我要算什麼、用哪個 GDC 功能」，再按鍵；情境題的答案一定要回到情境（例如 36.2 年是「約 36 年後」、0.292 是「兩科都沒修的學生佔 29.2%」）。百分比變化、條件概率與樣本標準差是最常被扣分的三個位置，答案一律三位有效數字並附單位。
本卷設計與版權說明
本卷為 TutorZone 原創操卷模擬卷：題目按 IB 數學 AI SL 卷二的格式自行編寫，答案為自行撰寫，並非 IB 歷屆試題、官方評卷參考或 IB 出版材料。
全部數值答案由程式獨立計算並核對（複利、折舊、正態概率、指數模型、三角、統計、概率與立體幾何），確保答案與題目數據一致。
時間分配
| 部分 | 分數 | 建議時間 | 先做什麼 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（短答，允許科技） | SL 40% | 短答為主，一步一問 | 基本運算與讀圖 |
| Paper 2（本卷，必須用 GDC） | SL 40% | 10 題、每題約 8 分鐘，留 10 分鐘覆核 | 寫出模型與假設，再算並詮釋 |
| 數學探究（內部評核） | 20% | 分階段完成，先定題目再收數據 | 以真實數據建模並反思限制 |
問：AI 卷二與 AA 卷二有什麼分別？
直接答案：兩卷都要用 GDC、同為 SL 80 分／40%；分別在於AA 卷二分甲部短答與乙部延伸，重視手算與推導；AI 卷二全部是情境建模題，重視模型假設與結果詮釋。
卷二（全卷 10 題，80 分，每題 8 分）
全部延伸答題：先寫模型與假設，再算，最後回到情境詮釋。
第 1 題 （8 分）
8000 美元以年利率 3.2%、每季複利計算，存入 5 年。(a) 求 5 年後的金額（準確至整數）。(b) 求這 5 年的總增長百分比。
第 2 題 （8 分）
一部機器價值 260 000 港元，每年折舊 15%。(a) 求 4 年後的價值（三位有效數字）。(b) 求價值首次低於 100 000 港元的年份。
第 3 題 （8 分）
某城市成年人的收縮壓（mmHg）服從正態分佈，平均值 120、標準差 15。(a) 求收縮壓低於 100 的概率。(b) 求收縮壓介乎 100 與 140 之間的概率。
第 4 題 （8 分）
某島嶼的人口（人）模型為 P(t) = 25000e^(0.013t)，t 以年計。(a) 求 20 年後的人口。(b) 求人口達到 40000 所需的年數。
第 5 題 （8 分）
一條無障礙坡道長 8 m，與水平面成 12°。(a) 求坡道末端的高度及水平長度（三位有效數字）。(b) 若法例要求高度必須為 2 m，求坡道與水平面的夾角。
第 6 題 （8 分）
一個球被垂直向上拋出，其離地高度（米）為 h(t) = −4.9t² + 18t + 1.2，t 以秒計。(a) 求球離地的最高點及達到最高點的時間。(b) 求球落地的時間。
第 7 題 （8 分）
五名學生每週操卷時數（小時）為 12、15、18、20、22。(a) 求平均數、中位數與四分位距。(b) 求標準差（三位有效數字），並指出應取哪一個值。
第 8 題 （8 分）
某校 120 名學生中，70 人修數學、45 人修物理、30 人同時修兩科。隨機抽一名學生：(a) 求他同時修兩科的概率；(b) 已知他修數學，求他亦修物理的概率；(c) 求他兩科都沒有修的概率。
第 9 題 （8 分）
某藥物在血液中的劑量（毫克）模型為 A(t) = 200 × 0.88^t，t 以小時計。(a) 求服藥 6 小時後的劑量。(b) 求劑量首次低於 50 毫克所需時間。
第 10 題 （8 分）
一個圓錐的底半徑為 5 cm、斜高（母線）為 13 cm。(a) 求圓錐的高。(b) 求圓錐的體積與總表面積（三位有效數字）。
問：這份卷操練哪些課題？
直接答案：複利與折舊、正態分佈概率、指數增長與衰減、三角與坡度、拋體二次模型、統計量與標準差、條件概率、圓錐體積與表面積。
卷二答案與建模要點
第 1 題
(a) 每季利率 = 0.032 ÷ 4 = 0.008、期數 = 4 × 5 = 20（3 分）；金額 = 8000(1.008)²⁰ = 9382 美元（3 分）。(b) 增長 = (9382 − 8000) ÷ 8000 × 100% = 17.3%（2 分）。
第 2 題
(a) V(4) = 260000 × 0.85⁴ = 136 000 港元（3 分）。(b) 0.85^t < 100000 ÷ 260000 = 0.3846（2 分）→ t > ln 0.3846 ÷ ln 0.85 = 5.88（2 分），故第 6 年首次低於 100 000 港元（1 分）。
第 3 題
(a) 標準化：z = (100 − 120) ÷ 15 = −1.33（2 分），概率 = 0.0912（2 分）。(b) P(100 < X < 140) = 0.818（4 分）。兩邊分別標準化再相減，並畫一個正態圖標明所求區域，比死記公式可靠。
第 4 題
(a) P(20) = 25000e^0.26 = 32400 人（3 分）。(b) 25000e^(0.013t) = 40000 → e^(0.013t) = 1.6（2 分）；t = ln 1.6 ÷ 0.013 = 36.2 年（3 分）。
第 5 題
(a) 高度 = 8 sin 12° = 1.66 m、水平長度 = 8 cos 12° = 7.83 m（4 分）。(b) sin θ = 2 ÷ 8 = 0.25（2 分）→ θ = 14.5°（2 分）。
第 6 題
(a) 頂點時間 t = 18 ÷ (2 × 4.9) = 1.84 秒（2 分），最高點 h = 17.7 米（2 分）。(b) 解 −4.9t² + 18t + 1.2 = 0，取正根 t = 3.74 秒（4 分）。GDC 求二次方程會同時給兩個根，負根無意義，必須寫出取正根的理由。
第 7 題
(a) 平均數 = 87 ÷ 5 = 17.4 小時、中位數 = 18 小時、四分位距 = 20 − 15 = 5 小時（4 分）。(b) GDC 的 1-Var Stats 顯示 s = 3.97（樣本）與 σ = 3.56（母群）；此數據為五名學生的樣本，應取 s = 3.97（4 分）。抄 GDC 數字時要分清 s 與 σ，這是 AI 卷二最常見的失分。
第 8 題
(a) P(兩科) = 30 ÷ 120 = 0.25（2 分）。(b) P(物理｜數學) = 30 ÷ 70 = 0.429（3 分）。(c) 兩科都沒修 = 120 − 70 − 45 + 30 = 35 人，概率 = 35 ÷ 120 = 0.292（3 分）。條件概率的分母只有「已知」的組別：寫成 30/70 而不是 30/120。
第 9 題
(a) A(6) = 200 × 0.88⁶ = 92.9 毫克（3 分）。(b) 200 × 0.88^t < 50 → 0.88^t < 0.25（2 分）→ t > ln 0.25 ÷ ln 0.88 = 10.84（2 分），故約 11 小時（1 分）。
第 10 題
(a) 高 = √(13² − 5²) = 12 cm（2 分）。(b) 體積 = ⅓π(5²)(12) = 100π = 314 cm³（3 分）；總表面積 = πr(r + l) = π(5)(5 + 13) = 90π = 283 cm²（3 分）。圓錐總表面積是底圓＋側面：πr² + πrl = πr(r + l)，不要漏掉底圓。
問：為什麼 GDC 抄數常常被扣分？
直接答案：因為 AI 卷二要求詮釋：抄 s 而不是 σ、百分比變化只寫比值、條件概率用錯分母、答案沒有單位，都會被視為未完成。每個答案都要寫成有意義的句子。
最常見的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 實際後果 | 正確做法 |
|---|---|---|---|
| 答案未回到情境 | 只寫 36.2 或 0.292 | 詮釋分全失，等於白做一半 | 寫成「約 36 年後」「佔 29.2%」 |
| 用錯標準差 | 抄 GDC 的 σ | 樣本數據要用 s，數字與預期答案不符 | 辨清 s 與 σ，樣本取 s |
| 百分比變化算錯 | 直接寫 9382 ÷ 8000 | 答成 1.17 而不是 17.3% | 先減原本值，再除以原本值乘 100% |
| 條件概率用錯分母 | P(物理｜數學) 寫 30 ÷ 120 | 概率被低估一半以上 | 分母只用已知組別：30 ÷ 70 |
怎樣用這份卷
第一次操卷：完整計時 1 小時 30 分鐘，10 題按序完成，每題控制在 8 分鐘內。
對答案：檢查三位有效數字、單位與情境詮釋句；三個常見錯誤逐項核對。
第二次操卷：三至七日後重做，目標 1 小時 20 分內完成；之後再做一份 AA SL 卷二，比較兩卷的答題要求。
問：操完這份卷之後應該做什麼？
直接答案：①把未詮釋、用錯標準差、百分比變化算錯、條件概率分母錯這四類問題抄入錯題本；②三至七日後重做，目標 1 小時 20 分內；③再操 AA SL 卷二（同級 GDC 卷）或 AI SL 卷一（短答）。
常見問題 FAQ
這份卷同 IB 歷屆試題有關嗎？
沒有。題目與答案都是 TutorZone 原創，並非 IB 歷屆試題、官方評卷參考或 IB 出版材料。
IB 數學 AI SL 卷二考什麼？
1 小時 30 分鐘、80 分、佔 40%，全部必答延伸答題、必須使用 GDC，題目都以真實情境命題。
AI 與 AA 的卷二有什麼分別？
兩者的卷二都要用 GDC、同為 80 分；但 AA 卷二有甲部短答題並重視手算與推導，AI 卷二全部是情境建模題，重視詮釋結果。
為什麼答案要寫單位和情境？
AI 的主軸是「數學建模循環」：把情境轉成數學、計算、再把結果翻譯回情境，缺了最後一步就拿不到詮釋分。
官方資源與延伸閱讀
| 資源 | 用途 |
|---|---|
| IB 數學課程頁（IBO） | 核對卷一卷二分數與比重 |
| IB 數學 AI SL 模擬卷（Paper 1） | 短答建模題操練 |
| IB 數學 AA SL 卷二模擬卷 | 同級 GDC 延伸題操練 |
| 備考練習題總覽 | IB 各科模擬卷索引 |
