IB 数学 AI HL 刷题方法＋历年试题（Paper 1）：10 题 GDC 短答练习附答案

第 1 题

①模型：V = 250 000 × 0.85ⁿ（2 分）；②4 年后：250 000 × 0.85⁴ = $131 000（3 位有效数字）（3 分）；③解 0.85ⁿ < 0.4 得 n > 5.64，故第 6 年首次跌低（3 分）。第 5 年仍有约 $111 000，要分别计算第 5 与第 6 年才能确定答案。

第 2 题

①平均数 = 144 ÷ 6 = 24 分钟（3 分）；②样本标准差 = √(326 ÷ 5) = 8.07（3 位有效数字）（3 分）；③中位数 = (21 + 25) ÷ 2 = 23 分钟；平均数大于中位数，数据略向右偏（正偏）（2 分）。样本标准差用 n − 1 = 5 作分母；只有题目指明要母体标准差时才用 n。

第 3 题

①条件概率 = 60 ÷ 90 = 2/3（4 分）；②只用一种 = (120 − 60) + (90 − 60) = 90 人，概率 = 90 ÷ 200 = 0.45（4 分）。条件概率的分母是“已知条件”的人数（90），不是总人数（200）。

第 4 题

①z = (492 − 500) ÷ 8 = −1，P = 0.159（3 位有效数字）（4 分）；②2.5% 对应 z = −1.96，x = 500 − 1.96 × 8 = 484.32 ≈ 484 毫升（4 分）。要写出 z 值并保留负号；用 GDC 的常态分布函数时仍要用母体 σ（8），不是样本标准差。

第 5 题

①V = π × 1.2² × 2.5 = 11.3 立方米（3 位有效数字），即 11 300 升（4 分）；②曲面面积 = 2π × 1.2 × 2.5 = 18.8 平方米（4 分）。1 立方米 = 1000 升；曲面面积是 2πrh，不包含上下两个底。

第 6 题

①设高为 h：x²h = 500，故 h = 500 ÷ x²；S = 2x² + 4xh = 2x² + 2000 ÷ x（3 分）；②dS/dx = 4x − 2000 ÷ x² = 0，得 x³ = 500，x = 7.94 厘米（3 分）；③S = 6x² = 378 平方厘米（2 分）。dS/dx = 0 只给出驻点，要补一句“二阶导数为正，所以是最小值”。最优时 h = x，盒子正好是正方体。

第 7 题

①u₁₀ = 120 000 + 9 × 8 000 = $192 000（4 分）；②S₁₀ = 10 ÷ 2 × (120 000 + 192 000) = $1 560 000（4 分）。由第 1 年到第 10 年只增加了 9 次，不是 10 次；等差求和的平均法是 (首项 + 末项) ÷ 2 × 项数。

第 8 题

①顶点在 t = −20 ÷ (2 × −5) = 2 秒，h(2) = −20 + 40 + 10 = 30 米（4 分）；②解 −5t² + 20t + 10 = 10，即 −5t (t − 4) = 0，得 t = 0 秒及 4 秒（2 分）；③t = 0 是起飞时的高度，t = 4 秒表示回落至起飞高度（2 分）。“等于 10 米”就是抛物线与水平线相交两次；第二个解才是回落时刻。

第 9 题

①模型 N = 500 × 1.35ᵗ，N(6) = 3 027 个（3 分）；②500 × 1.35ᵗ = 5 000 即 1.35ᵗ = 10，t = ln10 ÷ ln1.35 = 7.67 小时（3 分）；③倍增时间 = ln2 ÷ ln1.35 = 2.31 小时（2 分）。解指数方程要写出“两边同时取对数”；倍增时间由增长率决定，与起始数量无关。

第 10 题

①x̄ = 3、ȳ = 59，Sxy = 84、Sxx = 10、Syy = 712，r = 84 ÷ √(10 × 712) = 0.995（3 分）；②b = 84 ÷ 10 = 8.4，a = 59 − 8.4 × 3 = 33.8，即 y = 33.8 + 8.4x（3 分）；③x = 6 时 y = 33.8 + 50.4 = 84.2 分（2 分）。r 接近 1 只表示线性相关很强，不等于可以无限外推——6 小时已略超出资料范围（1 至 5 小时）。