IB 數學 AI SL 模擬卷（Paper 1）：80 分短答建模題＋逐題答案與詮釋

第 1 題

①模型：複利是等比數列，每年乘 1.04（2 分）；②計算：5000 × 1.04³ = $5624.32（4 分）；③詮釋：複利是「利上加利」，本金與已生利息一併生息，故三年後比單利（$5600）多（2 分）。指數是 3 不是 2：第一年底已開始複利。

第 2 題

①模型：指數增長 P = 200 000 × 1.025^t（2 分）；②計算：200 000 × 1.025⁵ ≈ 226 282 人（4 分）；③限制：增長率很少能長期不變——遷入遷出、政策或資源限制都會令指數模型偏離現實（2 分）。指數模型的答案要回到情境（人數），不能只寫數字。

第 3 題

①平均數：87 ÷ 5 = 17.4（2 分）；②樣本標準差：√(Σ(x−μ)²/(n−1)) = √(63.2 ÷ 4) = √15.8 ≈ 3.97（4 分）；③詮釋：標準差衡量數據圍繞平均數的離散程度，數值愈大代表數據愈分散（2 分）。樣本標準差用 GDC 的 sx（除以 n−1），不是 σx（除以 n）。

第 4 題

①方法：用互補事件，P(至少一個紅) = 1 − P(兩個皆藍)（2 分）；②計算：1 − 6/10 × 5/9 = 1 − 30/90 = 2/3（4 分）；③詮釋：不放回令第二次抽取時分母由 10 變 9（2 分）。不放回的關鍵是第二次的分母要改。

第 5 題

①斜率：(13 − 5) ÷ (6 − 2) = 2（3 分）；②方程：y − 5 = 2(x − 2)，即 y = 2x + 1（3 分）；③詮釋：斜率 2 表示 x 每增加 1，y 增加 2——即兩個變量以固定比率一起變化（2 分）。

第 6 題

①模型：直角三角形，tan 40° = h/20（2 分）；②計算：h = 20 × tan 40° ≈ 20 × 0.8391 = 16.8 m（4 分）；③詮釋：仰角、水平距離與高度構成三角關係，適合用正切直接求高度（2 分）。GDC 要設成角度制（degree），不是弧度。

第 7 題

①模型：指數衰減 M = 80 × (1/2)^(t/5)（2 分）；②計算：10 = 80 × (1/2)^(t/5) → (1/2)^(t/5) = 1/8 = (1/2)³ → t/5 = 3 → t = 15 年（4 分）；③詮釋：由 80 減至 10 是三次「減半」，即三個半衰期（2 分）。

第 8 題

①方法：微分求極值，P′(x) = −2x + 12（3 分）；②計算：P′(x) = 0 → x = 6；P(6) = −36 + 72 − 20 = 16（千元）（4 分）；③詮釋：產量 600 件時利潤最大，為 $16 000；超過此產量，邊際利潤轉為負值（1 分）。

第 9 題

①模型：等差數列，首項 100、公差 10（2 分）；②第 12 項：T₁₂ = 100 + 11 × 10 = $210（3 分）；③總和：S₁₂ = 12/2 × (100 + 210) = $1860（3 分）。

第 10 題

①方法：兩點距離公式 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)（2 分）；②計算：√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 單位（6 分）。座標差要先平方、後相加，再開方。