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IB 数学 AI SL 刷题方法＋历年试题（Paper 2）：情境建模 10 题附答案
TUTORZONE 原创刷题模拟卷 · IB 数学 AI（应用与诠释）SL 卷二 GDC 延伸题
依 IBO 科目简介（首次评核 2021）编写：AI 的卷二以延伸答题为主、必须使用图形显示计算机，SL 全卷 1 小时 30 分钟、80 分、占 40%（卷一同样 80 分、40%）。本卷 10 题真实情境建模题（共 80 分），配逐题答案、模型假设与诠释，练的是把生活情境转成数学再读回情境。
问：IB 数学 AI SL 卷二考什么、占多少分？
直接答案：1 小时 30 分钟、80 分、占 40%，全部是必答延伸答题、必须使用图形显示计算机（GDC），题目一律以真实情境命题。卷一同样 80 分、40%，但以短答题为主。
考制速览：2027 年评核结构
| 部分 | 内容 | 比重 | 时间 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（短答，允许科技） | 必答短答题；80 分 | SL 40% | 1 小时 30 分钟 |
| Paper 2（本卷，必须用 GDC） | 必答延伸答题，全部真实情境；80 分 | SL 40% | 1 小时 30 分钟 |
| 数学探究（内部评核） | 建议 15 小时课时，于 150 小时课程内完成 | 20% | 课程内完成 |
IB 数学 AI SL 卷二刷题技巧：每题先写“我要算什么、用哪个 GDC 功能”，再按键；情境题的答案一定要回到情境（例如 36.2 年是“约 36 年后”、0.292 是“两科都没修的学生占 29.2%”）。百分比变化、条件概率与样本标准差是最常被扣分的三个位置，答案一律三位有效数字并附单位。
本卷设计与版权说明
本卷为 TutorZone 原创刷题模拟卷：题目按 IB 数学 AI SL 卷二的格式自行编写，答案为自行撰写，并非 IB 历届试题、官方评卷参考或 IB 出版材料。
全部数值答案由程式独立计算并核对（复利、折旧、正态概率、指数模型、三角、统计、概率与立体几何），确保答案与题目数据一致。
时间分配
| 部分 | 分数 | 建议时间 | 先做什么 |
|---|---|---|---|
| Paper 1（短答，允许科技） | SL 40% | 短答为主，一步一问 | 基本运算与读图 |
| Paper 2（本卷，必须用 GDC） | SL 40% | 10 题、每题约 8 分钟，留 10 分钟复核 | 写出模型与假设，再算并诠释 |
| 数学探究（内部评核） | 20% | 分阶段完成，先定题目再收数据 | 以真实数据建模并反思限制 |
问：AI 卷二与 AA 卷二有什么分别？
直接答案：两卷都要用 GDC、同为 SL 80 分／40%；分别在于AA 卷二分甲部短答与乙部延伸，重视手算与推导；AI 卷二全部是情境建模题，重视模型假设与结果诠释。
卷二（全卷 10 题，80 分，每题 8 分）
全部延伸答题：先写模型与假设，再算，最后回到情境诠释。
第 1 题 （8 分）
8000 美元以年利率 3.2%、每季复利计算，存入 5 年。(a) 求 5 年后的金额（准确至整数）。(b) 求这 5 年的总增长百分比。
第 2 题 （8 分）
一部机器价值 260 000 港元，每年折旧 15%。(a) 求 4 年后的价值（三位有效数字）。(b) 求价值首次低于 100 000 港元的年份。
第 3 题 （8 分）
某城市成年人的收缩压（mmHg）服从正态分布，平均值 120、标准差 15。(a) 求收缩压低于 100 的概率。(b) 求收缩压介乎 100 与 140 之间的概率。
第 4 题 （8 分）
某岛屿的人口（人）模型为 P(t) = 25000e^(0.013t)，t 以年计。(a) 求 20 年后的人口。(b) 求人口达到 40000 所需的年数。
第 5 题 （8 分）
一条无障碍坡道长 8 m，与水平面成 12°。(a) 求坡道末端的高度及水平长度（三位有效数字）。(b) 若法例要求高度必须为 2 m，求坡道与水平面的夹角。
第 6 题 （8 分）
一个球被垂直向上抛出，其离地高度（米）为 h(t) = −4.9t² + 18t + 1.2，t 以秒计。(a) 求球离地的最高点及达到最高点的时间。(b) 求球落地的时间。
第 7 题 （8 分）
五名学生每周刷题时数（小时）为 12、15、18、20、22。(a) 求平均数、中位数与四分位距。(b) 求标准差（三位有效数字），并指出应取哪一个值。
第 8 题 （8 分）
某校 120 名学生中，70 人修数学、45 人修物理、30 人同时修两科。随机抽一名学生：(a) 求他同时修两科的概率；(b) 已知他修数学，求他亦修物理的概率；(c) 求他两科都没有修的概率。
第 9 题 （8 分）
某药物在血液中的剂量（毫克）模型为 A(t) = 200 × 0.88^t，t 以小时计。(a) 求服药 6 小时后的剂量。(b) 求剂量首次低于 50 毫克所需时间。
第 10 题 （8 分）
一个圆锥的底半径为 5 cm、斜高（母线）为 13 cm。(a) 求圆锥的高。(b) 求圆锥的体积与总表面积（三位有效数字）。
问：这份卷操练哪些课题？
直接答案：复利与折旧、正态分布概率、指数增长与衰减、三角与坡度、抛体二次模型、统计量与标准差、条件概率、圆锥体积与表面积。
卷二答案与建模要点
第 1 题
(a) 每季利率 = 0.032 ÷ 4 = 0.008、期数 = 4 × 5 = 20（3 分）；金额 = 8000(1.008)²⁰ = 9382 美元（3 分）。(b) 增长 = (9382 − 8000) ÷ 8000 × 100% = 17.3%（2 分）。
第 2 题
(a) V(4) = 260000 × 0.85⁴ = 136 000 港元（3 分）。(b) 0.85^t < 100000 ÷ 260000 = 0.3846（2 分）→ t > ln 0.3846 ÷ ln 0.85 = 5.88（2 分），故第 6 年首次低于 100 000 港元（1 分）。
第 3 题
(a) 标准化：z = (100 − 120) ÷ 15 = −1.33（2 分），概率 = 0.0912（2 分）。(b) P(100 < X < 140) = 0.818（4 分）。两边分别标准化再相减，并画一个正态图标明所求区域，比死记公式可靠。
第 4 题
(a) P(20) = 25000e^0.26 = 32400 人（3 分）。(b) 25000e^(0.013t) = 40000 → e^(0.013t) = 1.6（2 分）；t = ln 1.6 ÷ 0.013 = 36.2 年（3 分）。
第 5 题
(a) 高度 = 8 sin 12° = 1.66 m、水平长度 = 8 cos 12° = 7.83 m（4 分）。(b) sin θ = 2 ÷ 8 = 0.25（2 分）→ θ = 14.5°（2 分）。
第 6 题
(a) 顶点时间 t = 18 ÷ (2 × 4.9) = 1.84 秒（2 分），最高点 h = 17.7 米（2 分）。(b) 解 −4.9t² + 18t + 1.2 = 0，取正根 t = 3.74 秒（4 分）。GDC 求二次方程会同时给两个根，负根无意义，必须写出取正根的理由。
第 7 题
(a) 平均数 = 87 ÷ 5 = 17.4 小时、中位数 = 18 小时、四分位距 = 20 − 15 = 5 小时（4 分）。(b) GDC 的 1-Var Stats 显示 s = 3.97（样本）与 σ = 3.56（母群）；此数据为五名学生的样本，应取 s = 3.97（4 分）。抄 GDC 数字时要分清 s 与 σ，这是 AI 卷二最常见的失分。
第 8 题
(a) P(两科) = 30 ÷ 120 = 0.25（2 分）。(b) P(物理｜数学) = 30 ÷ 70 = 0.429（3 分）。(c) 两科都没修 = 120 − 70 − 45 + 30 = 35 人，概率 = 35 ÷ 120 = 0.292（3 分）。条件概率的分母只有“已知”的组别：写成 30/70 而不是 30/120。
第 9 题
(a) A(6) = 200 × 0.88⁶ = 92.9 毫克（3 分）。(b) 200 × 0.88^t < 50 → 0.88^t < 0.25（2 分）→ t > ln 0.25 ÷ ln 0.88 = 10.84（2 分），故约 11 小时（1 分）。
第 10 题
(a) 高 = √(13² − 5²) = 12 cm（2 分）。(b) 体积 = ⅓π(5²)(12) = 100π = 314 cm³（3 分）；总表面积 = πr(r + l) = π(5)(5 + 13) = 90π = 283 cm²（3 分）。圆锥总表面积是底圆＋侧面：πr² + πrl = πr(r + l)，不要漏掉底圆。
问：为什么 GDC 抄数常常被扣分？
直接答案：因为 AI 卷二要求诠释：抄 s 而不是 σ、百分比变化只写比值、条件概率用错分母、答案没有单位，都会被视为未完成。每个答案都要写成有意义的句子。
最常见的失分位
| 失分位 | 表面做法 | 实际后果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 答案未回到情境 | 只写 36.2 或 0.292 | 诠释分全失，等于白做一半 | 写成“约 36 年后”“占 29.2%” |
| 用错标准差 | 抄 GDC 的 σ | 样本数据要用 s，数字与预期答案不符 | 辨清 s 与 σ，样本取 s |
| 百分比变化算错 | 直接写 9382 ÷ 8000 | 答成 1.17 而不是 17.3% | 先减原本值，再除以原本值乘 100% |
| 条件概率用错分母 | P(物理｜数学) 写 30 ÷ 120 | 概率被低估一半以上 | 分母只用已知组别：30 ÷ 70 |
怎样用这份卷
第一次刷题：完整计时 1 小时 30 分钟，10 题按序完成，每题控制在 8 分钟内。
对答案：检查三位有效数字、单位与情境诠释句；三个常见错误逐项核对。
第二次刷题：三至七日后重做，目标 1 小时 20 分内完成；之后再做一份 AA SL 卷二，比较两卷的答题要求。
问：操完这份卷之后应该做什么？
直接答案：①把未诠释、用错标准差、百分比变化算错、条件概率分母错这四类问题抄入错题本；②三至七日后重做，目标 1 小时 20 分内；③再操 AA SL 卷二（同级 GDC 卷）或 AI SL 卷一（短答）。
常见问题 FAQ
这份卷同 IB 历届试题有关吗？
没有。题目与答案都是 TutorZone 原创，并非 IB 历届试题、官方评卷参考或 IB 出版材料。
IB 数学 AI SL 卷二考什么？
1 小时 30 分钟、80 分、占 40%，全部必答延伸答题、必须使用 GDC，题目都以真实情境命题。
AI 与 AA 的卷二有什么分别？
两者的卷二都要用 GDC、同为 80 分；但 AA 卷二有甲部短答题并重视手算与推导，AI 卷二全部是情境建模题，重视诠释结果。
为什么答案要写单位和情境？
AI 的主轴是“数学建模循环”：把情境转成数学、计算、再把结果翻译回情境，缺了最后一步就拿不到诠释分。
官方资源与延伸阅读
| 资源 | 用途 |
|---|---|
| IB 数学课程页（IBO） | 核对卷一卷二分数与比重 |
| IB 数学 AI SL 模拟卷（Paper 1） | 短答建模题操练 |
| IB 数学 AA SL 卷二模拟卷 | 同级 GDC 延伸题操练 |
| 备考练习题总览 | IB 各科模拟卷索引 |
