IB 數學 AA SL 操卷方法＋歷屆試題（Paper 2）：GDC 延伸題 10 題附答案

第 1 題

①GDC 做法：用多項式求根功能，或畫 y = x² − 6x + 4 找與 x 軸的交點（4 分）；②答案：x = 5.24 及 x = 0.764（4 分）。驗算：兩根之和 5.236 + 0.764 = 6.000，等於 −b/a；判別式 36 − 16 = 20 > 0，故有兩個實根。

第 2 題

(a) f′(x) = 3x² − 18x + 24（3 分）。(b) 令 f′(x) = 0：3(x − 2)(x − 4) = 0，得 x = 2 或 x = 4（2 分）；f(2) = 4、f(4) = 0（2 分）；f″(x) = 6x − 18，f″(2) = −6 < 0 故 (2, 4) 為極大點，f″(4) = 6 > 0 故 (4, 0) 為極小點（1 分）。

第 3 題

①交點：2x = x² → x(x − 2) = 0 → x = 0 或 x = 2（2 分）；②積分式：面積 = ∫₀² (2x − x²) dx（2 分）；③計算：[x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3 ≈ 1.33（4 分）。GDC 可直接算定積分，但寫出積分式才拿到方法分。

第 4 題

①u₆ ÷ u₃ = r³ = 96 ÷ 12 = 8 → r = 2（3 分）；②u₁ = u₃ ÷ r² = 12 ÷ 4 = 3（2 分）；③S₈ = 3(2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × 255 = 765（3 分）。

第 5 題

①餘弦定理：BC² = 7² + 9² − 2 × 7 × 9 × cos 52° = 130 − 126 cos 52°（4 分）；②BC = 7.24 cm（2 分）；③面積 = ½ × 7 × 9 × sin 52° = 24.8 cm²（2 分）。開機先確認角度模式是 DEG；GDC 沒設 DEG 會算錯 52° 的餘弦值。

第 6 題

(a) 標準化：z = (60 − 50) ÷ 8 = 1.25（2 分），P(X > 60) = 0.106（2 分）。(b) 用 GDC 的 inverse normal，輸入面積 0.9：x = 60.3（4 分）。正態分佈功能要輸入標準差 8，不是變異數 64。

第 1 題

(a) T(10) = 20 + 60e^(−0.5) = 56.4 °C（4 分）。(b) 20 + 60e^(−0.05t) = 30 → e^(−0.05t) = 1/6（2 分）；t = ln 6 ÷ 0.05 = 35.8 分鐘（2 分）。先化簡成 e^(−0.05t) = 1/6 再用 GDC 解方程，比直接畫圖快一倍。

第 2 題

(a) y = 2.4 × 12 + 1.3 = 30.1（2 分）。(b) 每增加一小時操卷，分數平均增加 2.4 分（3 分）；但 x = 12 已超出數據範圍 2 至 10 小時，屬外推，回歸趨勢未必延續，故此預測不可靠（3 分）。

第 3 題

(a) P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) = 0.3 ÷ 0.5 = 0.6（3 分）。(b) P(A ∪ B) = 0.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8（2 分）。(c) 因為 P(A | B) = 0.6 = P(A)，B 的發生不改變 A 的概率，所以 A 與 B 獨立（3 分）。

第 4 題

(a) v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9（2 分），v(2) = 12 − 24 + 9 = −3 m/s（1 分）；a(t) = 6t − 12，a(2) = 0（1 分）。(b) t = 1 時 s = 4，t = 2 時 s = 2，t = 1 為折返點，故總距離 = 4 + 2 = 6 米（4 分）。問「總距離」要分段：s(1) − s(0) 與 s(2) − s(1) 各自取絕對值再相加，直接寫 s(2) − s(0) 只得 2 米。