IB 數學 AI HL 操卷方法＋歷屆試題（Paper 1）：10 題 GDC 短答練習附答案

第 1 題

①模型：V = 250 000 × 0.85ⁿ（2 分）；②4 年後：250 000 × 0.85⁴ = $131 000（3 位有效數字）（3 分）；③解 0.85ⁿ < 0.4 得 n > 5.64，故第 6 年首次跌低（3 分）。第 5 年仍有約 $111 000，要分別計算第 5 與第 6 年才能確定答案。

第 2 題

①平均數 = 144 ÷ 6 = 24 分鐘（3 分）；②樣本標準差 = √(326 ÷ 5) = 8.07（3 位有效數字）（3 分）；③中位數 = (21 + 25) ÷ 2 = 23 分鐘；平均數大於中位數，數據略向右偏（正偏）（2 分）。樣本標準差用 n − 1 = 5 作分母；只有題目指明要母體標準差時才用 n。

第 3 題

①條件概率 = 60 ÷ 90 = 2/3（4 分）；②只用一種 = (120 − 60) + (90 − 60) = 90 人，概率 = 90 ÷ 200 = 0.45（4 分）。條件概率的分母是「已知條件」的人數（90），不是總人數（200）。

第 4 題

①z = (492 − 500) ÷ 8 = −1，P = 0.159（3 位有效數字）（4 分）；②2.5% 對應 z = −1.96，x = 500 − 1.96 × 8 = 484.32 ≈ 484 毫升（4 分）。要寫出 z 值並保留負號；用 GDC 的常態分佈函數時仍要用母體 σ（8），不是樣本標準差。

第 5 題

①V = π × 1.2² × 2.5 = 11.3 立方米（3 位有效數字），即 11 300 升（4 分）；②曲面面積 = 2π × 1.2 × 2.5 = 18.8 平方米（4 分）。1 立方米 = 1000 升；曲面面積是 2πrh，不包含上下兩個底。

第 6 題

①設高為 h：x²h = 500，故 h = 500 ÷ x²；S = 2x² + 4xh = 2x² + 2000 ÷ x（3 分）；②dS/dx = 4x − 2000 ÷ x² = 0，得 x³ = 500，x = 7.94 厘米（3 分）；③S = 6x² = 378 平方厘米（2 分）。dS/dx = 0 只給出駐點，要補一句「二階導數為正，所以是最小值」。最優時 h = x，盒子正好是正方體。

第 7 題

①u₁₀ = 120 000 + 9 × 8 000 = $192 000（4 分）；②S₁₀ = 10 ÷ 2 × (120 000 + 192 000) = $1 560 000（4 分）。由第 1 年到第 10 年只增加了 9 次，不是 10 次；等差求和的平均法是 (首項 + 末項) ÷ 2 × 項數。

第 8 題

①頂點在 t = −20 ÷ (2 × −5) = 2 秒，h(2) = −20 + 40 + 10 = 30 米（4 分）；②解 −5t² + 20t + 10 = 10，即 −5t (t − 4) = 0，得 t = 0 秒及 4 秒（2 分）；③t = 0 是起飛時的高度，t = 4 秒表示回落至起飛高度（2 分）。「等於 10 米」就是拋物線與水平線相交兩次；第二個解才是回落時刻。

第 9 題

①模型 N = 500 × 1.35ᵗ，N(6) = 3 027 個（3 分）；②500 × 1.35ᵗ = 5 000 即 1.35ᵗ = 10，t = ln10 ÷ ln1.35 = 7.67 小時（3 分）；③倍增時間 = ln2 ÷ ln1.35 = 2.31 小時（2 分）。解指數方程要寫出「兩邊同時取對數」；倍增時間由增長率決定，與起始數量無關。

第 10 題

①x̄ = 3、ȳ = 59，Sxy = 84、Sxx = 10、Syy = 712，r = 84 ÷ √(10 × 712) = 0.995（3 分）；②b = 84 ÷ 10 = 8.4，a = 59 − 8.4 × 3 = 33.8，即 y = 33.8 + 8.4x（3 分）；③x = 6 時 y = 33.8 + 50.4 = 84.2 分（2 分）。r 接近 1 只表示線性相關很強，不等於可以無限外推——6 小時已略超出資料範圍（1 至 5 小時）。