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中五数学练习卷：函数与图像、数列、排列组合与概率（12 题・100 分・75 分钟）
练习卷 · 中五数学・12 题・100 分・75 分钟
中五数学练习卷：12 题、100 分、75 分钟。内容涵盖二次函数配方、顶点与对称轴、指数函数图像变换、等差与等比数列、无限项之和、排列与组合、概率、复利增长及标准差，每题附完整答案、计算步骤与评分要点。
卷面资料 年级：中五（S5） ｜ 科目：数学 ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：函数与图像（第 1–4 题）
全部题目均须作答；计算题须列出算式、代入步骤及单位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 设函数 f(x) = 2x² − 8x + 5。 (a) 以配方形式表示 f(x)，并写出图像的顶点及对称轴。 (b) 求 f(x) 的最小值，并判断该函数有没有最大值。 (c) 解方程 f(x) = 0，答案取三位有效数字。 |
(a) f(x) = 2(x² − 4x) + 5 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3；顶点为 (2, −3)，对称轴为 x = 2。 (b) 因为 x² 的二次项数字 2 为正数，抛物线开口向上，最小值为 -3；没有最大值（函数值可无限增大）。 (c) 2x² − 8x + 5 = 0，判别式 = 64 − 40 = 24；x = (8 ± √24) ÷ 4，得 x = 3.225 或 x = 0.775。 评分要点：配方及顶点对称轴（3 分）、最小值判断与解释（3 分）、求根公式及有效数字（3 分）。 |
| 2 | 某细菌培养的数量 y 与时间 x 小时的对应为 y = 3 × 2ˣ。 (a) 求 x = 4 时 y 的值。 (b) 求 y = 96 时 x 的值。 (c) 描述 y = 3 × 2ˣ 的图像与 y = 2ˣ 的图像之间的变换对应。 |
(a) y = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48。 (b) 3 × 2ˣ = 96，即 2ˣ = 32 = 2⁵，所以 x = 5。 (c) 把 y = 2ˣ 的图像沿 y 轴方向伸延 3 倍（纵向拉长为原来的 3 倍），图像与 y 轴的交点由 1 升至 3。 评分要点：代入计算（3 分）、解指数方程（3 分）、变换描述（2 分）。 |
| 3 | 已知 y = x² 的图像向右平移 3 单位、再向上平移 4 单位，得到 y = g(x) 的图像。 (a) 写出 g(x) 的代数式。 (b) 写出 g 的图像的顶点坐标。 (c) 求 g(0) 的值，并说明它与 y 截距的对应。 |
(a) 向右平移 3 单位即把 x 换成 (x − 3)，向上平移 4 单位即在函数外加上 4，所以 g(x) = (x − 3)² + 4。 (b) 顶点由 (0, 0) 移至 (3, 4)。 (c) g(0) = (0 − 3)² + 4 = 9 + 4 = 13，即图像与 y 轴交于 (0, 13)，此值就是 y 截距。 评分要点：代数式（3 分）、顶点（3 分）、代入及 y 截距解释（3 分）。 |
| 4 | 某小店出售手作蛋糕，售价为每件 x 元时，每日可售出 (120 − 2x) 件，收益 R(x) = x(120 − 2x) 元。 (a) 把 R(x) 写成 a(x − h)² + k 的形式。 (b) 求售价使收益最大，并求最大收益。 (c) 若店主希望每日收益不少于 1600 元，求售价的整数范围。 |
(a) R(x) = −2x² + 120x = −2(x² − 60x) = −2(x − 30)² + 1800。 (b) 因 −2 为负数，x = 30 时 R 最大，最大收益 = 1800 元。 (c) −2(x − 30)² + 1800 ≥ 1600 即 (x − 30)² ≤ 100，故 20 ≤ x ≤ 40；售价的整数范围为 20 元至 40 元。 评分要点：配方（4 分）、最大值及售价（4 分）。 |
乙部：数列与求和（第 5–8 题）
提示：抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点 x 坐标为 −b ÷ 2a；无限等比数列之和为 a ÷ (1 − r)，仅当 r 的绝对值小于 1。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 某等差数列的首项为 7，公差为 −3。 (a) 求第 20 项。 (b) 求首 20 项之和。 (c) 求首 n 项之和 S(n) 的代数式，并判断 S(n) 会不会等于 0。 |
(a) 第 20 项 = 7 + 19 × (−3) = 7 − 57 = -50。 (b) 首 20 项之和 = 20 × (7 + (-50)) ÷ 2 = 10 × (−43) = -430。 (c) S(n) = n ÷ 2 × [14 + (n − 1)(−3)] = n(17 − 3n) ÷ 2；令 S(n) = 0 得 n = 0 或 n = 17 ÷ 3（非整数），故首 n 项之和不会等于 0（n 为正整数）。 评分要点：通项（2 分）、求和公式及数值（3 分）、S(n) 代数式与判断（3 分）。 |
| 6 | 某等比数列的首项为 5，公比为 0.6。 (a) 求首 5 项之和。 (b) 求该数列无限项之和。 (c) 说明为何这个等比数列的无限项之和存在，而公比为 1.2 时则不存在。 |
(a) 首 5 项之和 = 5 × (1 − 0.6⁵) ÷ (1 − 0.6) = 5 × (1 − 0.07776) ÷ 0.4 ≈ 11.528。 (b) 无限项之和 = 5 ÷ (1 − 0.6) = 5 ÷ 0.4 = 12.5。 (c) 公比 0.6 的绝对值小于 1，各项逐渐趋向 0，部分和收敛；公比 1.2 的绝对值大于 1，各项绝对值不断增大，部分和发散，故无限项之和不存在。 评分要点：有限项之和（3 分）、无限项之和（3 分）、收敛条件解释（2 分）。 |
| 7 | 考虑 100 与 500 之间所有 3 的倍数。 (a) 写出这个数列的首项与末项。 (b) 求这些数的个数。 (c) 求它们的总和，并说明所用公式的条件。 |
(a) 首项为大于 100 的最小 3 的倍数，即 102；末项为小于 500 的最大 3 的倍数，即 498。 (b) 个数 n = (498 − 102) ÷ 3 + 1 = 133。 (c) 总和 = n(首项 + 末项) ÷ 2 = 133 × (102 + 498) ÷ 2 = 133 × 300 = 39900。此公式要求数列为等差数列，且项数与首末项对应正确。 评分要点：首末项（3 分）、项数（3 分）、总和及条件（3 分）。 |
| 8 | 某城市人口现时为 5000 人，每年增长率为 3%，以复利方式计算（compound interest）。 (a) 求 5 年后的人口，取整数。 (b) 求最少多少年后人口会超过现时的两倍。 (c) 若增长率改为每年 5%，所需年数会增加还是减少？简略解释。 |
(a) 人口 = 5000 × 1.03⁵ ≈ 5796.37，即约 5796 人。 (b) 需 1.03ⁿ 大于 2；1.03²³ ≈ 1.974、1.03²⁴ ≈ 2.033，故最少 24 年。 (c) 增长率较高，每年倍数 1.05 大于 1.03，所需年数会减少（约 15 年）。 评分要点：5 年后人口（4 分）、倍増年数（4 分）。 |
丙部：排列组合、概率与统计（第 9–12 题）
概率答案可用分数或小数表示；小数须取三位有效数字，并注明单位。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 某班有 5 名男生及 4 名女生，现从中选出 3 人组成委员会。 (a) 求所有可能的组合数目。 (b) 求委员会中至少有一名女生的组合数目。 (c) 求委员会中恰有一名女生的组合数目，并核对 (b) 与 (c) 的对应。 |
(a) 组合数目 = C(9, 3) = 84。 (b) 全部为男生的组合有 C(5, 3) = 10 个，故至少一名女生 = 84 − 10 = 74。 (c) 恰有一名女生 = C(4, 1) × C(5, 2) = 4 × 10 = 40；两名女生 = C(4, 2) × C(5, 1) = 30，三名女生 = C(4, 3) = 4，故 40 + 30 + 4 = 74，与 (b) 一致。 评分要点：总组合（3 分）、至少一名女生（3 分）、恰一名女生及核对（3 分）。 |
| 10 | 7 名学生排成一行拍照，其中甲、乙两人必须相邻。 (a) 求所有排列的数目。 (b) 求甲、乙相邻的排列数目。 (c) 由此求随机排列时甲、乙相邻的概率，答案取三位有效数字。 |
(a) 7 人全排列 = 7! = 5040。 (b) 把甲、乙视为一个单位，与其余 5 人共 6 个单位排列，另乘 2 种内部次序：2 × 6! = 2 × 720 = 1440。 (c) 概率 = 1440 ÷ 5040 = 2 ÷ 7 ≈ 0.286。 评分要点：全排列（3 分）、相邻排列（3 分）、概率（2 分）。 |
| 11 | 一个袋内有 4 个红球及 6 个蓝球，随机抽出 2 个球，不放回。 (a) 求两个都是红球的概率。 (b) 求至少有一个红球的概率。 (c) 比较有放回与不放回两种情况下 (a) 的答案。 |
(a) 两个都是红球的概率 = C(4, 2) ÷ C(10, 2) = 6 ÷ 45 = 2 ÷ 15 ≈ 0.133。 (b) 至少一个红球 = 1 − C(6, 2) ÷ C(10, 2) = 1 − 15 ÷ 45 = 2 ÷ 3 ≈ 0.667。 (c) 若有放回，两个都是红球的概率 = (4 ÷ 10)² = 0.16，大于不放回的 0.133，因为不放回时抽走红球会令第二次抽到红球的机会下降。 评分要点：组合计算（4 分）、至少一个红球（4 分）。 |
| 12 | 某组数据为 4, 7, 7, 9, 13。 (a) 求平均值及标准差（以母体标准差计算，取三位有效数字）。 (b) 若每个数据同时加 5，求新的平均值及标准差。 (c) 若每个数据同时乘 2，说明平均值与标准差如何改变。 |
(a) 平均值 = (4 + 7 + 7 + 9 + 13) ÷ 5 = 8；离差平方和 = 16 + 1 + 1 + 1 + 25 = 44.0，方差 = 44.0 ÷ 5 = 8.8，标准差 = √8.8 ≈ 2.966。 (b) 每个数据加 5 后平均值 = 13，标准差不变，仍约为 2.966。 (c) 每个数据乘 2 后平均值变为 2 倍即 16，标准差亦变为 2 倍约 5.93；乘以常数会同时按同一倍数改变平均值与标准差。 评分要点：平均值与标准差（4 分）、加常数的影响（4 分）。 |
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