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中五数学（必修部分）练习卷：指数与对数、数列、二次函数与概率统计（12 题・100 分・75 分钟・附答案）｜原创模拟试题
练习卷 · DSE 数学（必修部分）：指数、对数、数列、二次函数与概率全卷
本卷 12 题、100 分、75 分钟，覆盖中五数学（必修部分）：指数定律与对数运算、等差与等比数列、二次函数的顶点与判别式、直线与圆的方程、概率的古典定义、数据的平均数与标准差、正态分布的经验法则，以及组合计数；全部数值由程式自算，附评分要点。
卷面资料 年级：中五（S5） ｜ 科目：数学（必修部分） ｜ 时限：75 分钟 ｜ 总分：100 分 ｜ 题数：12
甲部：指数、对数与数列（24 分）
每题 6 分，须列式或说明推理。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 1 | 解下列方程：(a) 3^(2x−1) = 81；(b) log₅(2x+3) = 2。并说明每步所用的指数或对数性质。 | (a) 81 = 3^4，故 2x − 1 = 4，x = 2.5。(b) log₅(2x+3) = 2 即 2x + 3 = 5² = 25，x = 11。评分要点：同底比较、指数与对数互化、答案。 |
| 2 | 已知 log 2 = a、log 3 = b。(a) 以 a、b 表示 log 72；(b) 以 a、b 表示 log 4.5；(c) 解释为何 log 72 的系数与 72 的质因数分解有关。 | (a) 72 = 2³ × 3²，故 log 72 = log 2³ + log 3² = 3a + 2b（次方 3 与 2 分别成为 a 与 b 的系数）。(b) log 4.5 = log(9/2) = 2 log 3 − log 2 = 2b − a。(c) 对数把乘法化为加法，每个质因数的次方直接成为系数。评分要点：分解、两条对数式、解释。 |
| 3 | 某等差数列首项为 7、公差为 4。(a) 求第 20 项。(b) 求首 20 项之和。(c) 求首 n 项和大于 900 的最小 n。 | (a) 第 20 项 = 7 + 19 × 4 = 83。(b) 首 20 项和 = 20(7 + 83)/2 = 900。(c) 首 n 项和 = n(2×7 + (n−1)×4)/2，n = 15 得 570、n = 18 得 792、n = 19 得 874、n = 20 得 900，故最小 n = 20。评分要点：通项、求和公式、比较。 |
| 4 | 某等比数列首项为 3、公比为 2。(a) 求首 10 项之和。(b) 求最小的 n 使第 n 项大于 1000，并写出该项。 | (a) 首 10 项和 = 3(2^10 − 1)/(2 − 1) = 3069。(b) 第 n 项 = 3 × 2^(n−1)，2^8 = 256 得 768（不大于 1000）、2^9 = 512 得 1536，故最小 n = 10，该项为 1536。评分要点：等比求和、逐次比较、答案。 |
乙部：二次函数、直线与圆（36 分）
每题 9 分，注意题目各部分的配分。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 5 | 曲线 y = x² − 6x + 5。(a) 以 (x − h)² + k 形式表示。(b) 写出顶点与最小值。(c) 求 x 轴截距与 y 轴截距。 | (a) x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4。(b) 顶点 (3, -4)，最小值 -4。(c) x 轴截距 x = 1 与 x = 5；y 轴截距 y = 5。评分要点：配方、顶点、三组截距。 |
| 6 | 直线 L 为 3x + 4y − 12 = 0。(a) 求斜率。(b) 求 x 轴截距与 y 轴截距。(c) 求原点到 L 的垂直距离。 | (a) 4y = −3x + 12，y = −(3/4)x + 3，斜率 −3/4。(b) x 轴截距 (4, 0)、y 轴截距 (0, 3)。(c) 距离 = |−12|/√(3² + 4²) = 12/5 = 2.4。评分要点：整理为斜截式、两截距、点线距离公式。 |
| 7 | 圆 C 的方程为 x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0。(a) 求圆心与半径。(b) 证明点 (6, 0) 在 C 上。(c) 求圆与 x 轴相交所得弦的长度。 | (a) x² − 4x + y² + 6y = 12，(x − 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 + 12 = 25，圆心 (2, -3)、半径 5。(b) 代入 (6, 0)：36 + 0 − 24 + 0 − 12 = 0，故在圆上。(c) 令 y = 0 得 x² − 4x − 12 = 0，x = 6 或 x = -2，弦长 = 8。评分要点：配方法、代入验证、弦长。 |
| 8 | 方程 x² − 8x + k = 0。(a) 求 k 的范围使方程有两个相异实根。(b) 若两根均为正数，求 k 的范围。(c) 当 k = 12 时解该方程。 | (a) 判别式 = 64 − 4k 大于 0，故 k 小于 16。(b) 两根和 = 8 大于 0，两根积 = k 大于 0，故 0 小于 k 小于 16。(c) x² − 8x + 12 = 0，(x − 2)(x − 6) = 0，x = 2 或 x = 6。评分要点：判别式、根与系数关系、因式分解。 |
丙部：概率与统计（40 分）
每题 10 分，须作完整计算或解释。
| # | 题目 | 答案与评分要点 |
|---|---|---|
| 9 | 袋中有 5 个红球、3 个蓝球、2 个绿球。随机抽出两个球（不放回）。(a) 求两个皆为红球的概率。(b) 求两球同色的概率。(c) 求最少有一个红球的概率。 | (a) 两个皆红 = (5/10) × (4/9) = 2/9。(b) 同色 = (5×4 + 3×2 + 2×1)/(10×9) = 14/45。(c) 最少一红 = 1 − 两个皆非红 = 1 − (5×4)/(10×9) = 7/9。评分要点：不放回、互斥情况相加、补集。 |
| 10 | 数据组为 2, 4, 6, 8, 10。(a) 求平均数、中位数与众数。(b) 求全距。(c) 求方差与标准差。(d) 若每个数据加 5，平均数、方差与标准差如何变化？ | (a) 平均数 = 30/5 = 6，中位数 = 6，各值只出现一次故无众数。(b) 全距 = 10 − 2 = 8。(c) 方差 = 40/5 = 8，标准差 = √8 ≈ 2.83。(d) 每个数据加 5 后平均数变 11；方差与标准差不变（平移不改变离散程度）。评分要点：三个集中趋势、全距、方差与标准差、平移性质。 |
| 11 | 某考试成绩呈正态分布，平均数 60 分、标准差 10 分。(a) 写出平均数加减一个及两个标准差所覆盖的百分比。(b) 估计高于 80 分的考生百分比。(c) 最高 16% 获 A 级，估计 A 级的分数界线。 | (a) 平均数 ± 1 标准差约覆盖 68%，± 2 标准差约覆盖 95%，± 3 标准差约覆盖 99.7%。(b) 80 分为平均数加两个标准差，高于此约占 (100% − 95%)/2 = 2.5%。(c) 84% 的考生低于 70 分（平均数加一个标准差），故最高 16% 的界线约为 70 分。评分要点：经验法则、尾部百分比、界线。 |
| 12 | 从 6 名男生与 4 名女生中选 3 人组队。(a) 求不同队伍的数目。(b) 求最少有一位女生的队伍数目。(c) 求队伍恰好有两位女生的概率。 | (a) 队伍数目 = C(10, 3) = 120。(b) 全男组合 = C(6, 3) = 20，故最少一女 = 120 − 20 = 100。(c) 恰两女一男 = C(4, 2) × C(6, 1) = 6 × 6 = 36，概率 = 36/120 = 3/10。评分要点：组合公式、补集、乘法原理。 |
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