中六数学练习卷：微分与积分入门（12 题・100 分・75 分钟）

练习卷 · 中六数学：微分、积分与应用全卷

中六数学练习卷：微分与积分入门，共 12 题、100 分、75 分钟。内容涵盖求导法则、基本原理求导、切线与法线、驻点与二阶导数判别、不定积分与定积分、曲线下面积、速率与位移、球形气球相关速率及梯形法则估算，并附完整答案与评分要点，适合中六学生操卷。

卷面资料　年级：中六（S6）　｜　科目：数学　｜　时限：75 分钟　｜　总分：100 分　｜　题数：12

考生须知：本卷分甲、乙、丙三部，全部题目均须作答，总分 100 分，时限 75 分钟。

作答时须写出所用公式及代入步骤，数值答案取三位有效数字并标明单位。

积分题须写出原函数；应用题须指出所用的求导或积分方法，例如二阶导数判别法、连锁律、梯形法则。

建议用 20 分钟完成甲部，30 分钟处理乙部，余下 25 分钟复核丙部。

甲部导数、求导法则与切线法线（4 题，28 分）

回答下列各题，须列出解题步骤。

#	题目	答案与评分要点
1	设 f(x) = 3x² – 4x + 1。(a) 用求导法则求 f'(x)。(b) 由此求 f'(2)。	f'(x) = 6x – 4，3 分（两项各 1.5 分）。f'(2) = 6(2) – 4 = 8，3 分。
2	用基本原理（极限定义）求 g(x) = x² 在 x = 3 的导数，并清楚列出步骤。	g'(3) = lim(h→0) [((3+h)² – 9)] / h = lim(h→0) (6h + h²)/h = lim(h→0) (6 + h) = 6。展开 2 分、化简 2 分、取极限 2 分。
3	求曲线 y = x³ – 6x² + 9x 的驻点，并用二阶导数判别各驻点的性质。	y’ = 3x² – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3)，2 分；驻点为 x = 1 与 x = 3，2 分；y” = 6x – 12，x = 1 时 y” = -6，小于 0，故 (1, 4) 为极大点，2 分；x = 3 时 y” = 6，大于 0，故 (3, 0) 为极小点，2 分。
4	求 y = 2x³ – 3x² – 12x + 5 的极大值与极小值，并指出对应的 x 值。	y’ = 6x² – 6x – 12 = 6(x – 2)(x + 1)，2 分；x = 2 或 x = -1，2 分；y” = 12x – 6，x = -1 时 y” = -18，小于 0，极大值 y = 12，2 分；x = 2 时 y” = 18，大于 0，极小值 y = -15，2 分。

积分题须写出原函数，并清楚标明上下限。

#	题目	答案与评分要点
5	求下列不定积分：(a) ∫(6x² – 4x + 3) dx；(b) ∫(8x⁻³ + 5) dx。	(a) 2x³ – 2x² + 3x + C，4 分（三项各 1 分，常数 C 1 分）。(b) 8x⁻²/(-2) + 5x + C = -4/x² + 5x + C，4 分（每项 1.5 分，C 1 分）。
6	计算定积分 ∫₁³ (x² + 2x) dx，须列出原函数及代入步骤。	原函数为 x³/3 + x²，3 分；上限代入：9 + 9 = 18；下限代入：1/3 + 1 = 4/3；18 – 4/3 = 50/3，约 16.7，5 分。
7	求曲线 y = 4x – x² 与 x 轴所围成的区域面积。	与 x 轴交于 x = 0 与 x = 4，2 分；面积 = ∫₀⁴ (4x – x²) dx，2 分；= [2x² – x³/3]₀⁴ = 32 – 64/3 = 32/3，约 10.7 平方单位，4 分。
8	某粒子沿直线运动，速度为 v(t) = 3t² – 12t + 9（单位：m/s），t ≥ 0。(a) 求 t = 2 时粒子的加速度。(b) 求 t = 0 至 t = 4 之间粒子的位移。	(a) a(t) = v'(t) = 6t – 12，t = 2 时加速度为 0 m/s²，3 分。(b) 位移 = ∫₀⁴ v dt = [t³ – 6t² + 9t]₀⁴ = 64 – 96 + 36 = 4 m，5 分。

应用题须设未知数、写出目标函数或关系，并标明单位。

#	题目	答案与评分要点
9	一块长方形农地一边靠墙，其余三边用 60 m 围栏围起。设垂直墙的两边各长 x m。(a) 以 x 表示面积 A。(b) 求 A 的最大值及对应的 x 值。	(a) 另一边为 (60 – 2x) m，A = x(60 – 2x) = 60x – 2x²，3 分。(b) dA/dx = 60 – 4x = 0，得 x = 15，3 分；d²A/dx² = -4，小于 0，故为极大，2 分；A = 15 × 30 = 450 m²，2 分。
10	曲线为 y = x² – 3x + 4，求在 x = 2 处的切线方程与法线方程。	切点 y(2) = 2，即 (2, 2)，1 分；y’ = 2x – 3，切线斜率为 1，3 分；切线 y – 2 = 1(x – 2)，即 y = x，3 分；法线斜率为 -1，y – 2 = -(x – 2)，即 y = -x + 4，3 分。
11	一个球形气球的体积以 30 cm³/s 的速率增加，体积 V = (4/3)πr³。当半径 r = 5 cm 时，求半径增加的速率。	dV/dr = 4πr²，3 分；由连锁律 dV/dt = (dV/dr)(dr/dt)，2 分；30 = 4π(25)(dr/dt)，2 分；dr/dt = 30/(100π) = 0.0955，约 0.096 cm/s，3 分。
12	某水缸的入水速率 R(t) 每 2 分钟量度一次：t = 0、2、4、6、8 分钟时分别为 4、7、9、8、5（单位：L/min）。(a) 用梯形法则估计首 8 分钟的总入水量。(b) 说明此估计值可能偏高还是偏低，并解释原因。	(a) 梯形法则，h = 2：面积 ≈ (2/2)[4 + 2(7 + 9 + 8) + 5] = 57 L，6 分（列式 3 分、答案 3 分）。(b) 速率在 t = 4 附近达峰，曲线凹向下，梯形以直线连接会高估，故估计值可能偏高，4 分。

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