IB 数学 AA｜微积分入门备课指引（导师用）

IB 数学 AA｜微积分入门备课指引（导师用）｜导数、切线与驻点

2026-10-28

IB 的微积分题第一步永远不是求导，而是问“这条线想问斜率、还是想问极值”。这一堂用一条三次函数把两件事分清楚。

本堂目标　学生能够：① 用幂法则求 f′(x) 并说明它代表瞬时变化率；② 由导数写出某一点的切线方程；③ 由 f′(x)=0 找出驻点并判断极大或极小。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
幂法则	f(x) = x³ − 3x + 2，f′(x) 是什么	3x² − 3
代入	f(2) 是多少	4
直线方程	斜率 9、过 (2, 4) 的直线	y = 9x − 14

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–10 分	斜率到导数	由割线平均变化率推到切线瞬时变化率	讲出两者分别
10–24 分	幂法则	x³ − 3x + 2 → 3x² − 3	逐项求导
24–36 分	切线方程	m = f′(2)、点 (2, f(2))	写出 y = 9x − 14
36–48 分	驻点与增减	f′(x)=0 → x = ±1	判断极大极小
48–56 分	IB 答题格式	写出方法与理由，不只写答案	改写一段
56–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：由割线到切线：导数是什么

割线斜率 = [f(x+h) − f(x)] / h；h 越来越细，割线就越贴近切线，极限就是 f′(x)。
对 x³ − 3x + 2 用幂法则：3x² − 3，这是每一点自己的斜率，不是一个固定数字。

要学生讲：为什么 f′(x) 仍然含 x（因为斜率逐点不同）。

第二幕：切线方程：先斜率、后切点

在 x = 2：m = f′(2) = 3(4) − 3 = 9；切点 y = f(2) = 8 − 6 + 2 = 4。
用点斜式：y − 4 = 9(x − 2)，即 y = 9x − 14，常数项 −14 是自算结果，不是背出来的。

要学生计：x = 0 时切线的 y 值（-14）。

第三幕：驻点：f′(x)=0 之后要再看符号

3x² − 3 = 0 → x = 1 或 −1。x = 1 时 f(1) = 0（极小），x = −1 时 f(−1) = 4（极大）。
判断方法：取 x = 0 得 f′(0) = −3 < 0（递减），所以左边 −1 是极大、右边 1 是极小。

提醒：f′(x)=0 只是候选，还要看两侧符号；IB 的“justify”就是要求这一句。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
幂法则求导	f(x) = x³ − 3x + 2	逐项乘指数、减一	f′(x) = 3x² − 3
切线方程	x = 2 的切线	m = f′(2)，点 (2, f(2))	y = 9x − 14
驻点与极值	f′(x) = 0	解方程再验符号	x = 1 极小 0；x = −1 极大 4
变化率应用	给距离函数求速度	位置求导即速度	单位要写清楚

合理性检查（一定要教）：切线在切点的函数值一定等于原函数值：把 x = 2 代入 y = 9x − 14 得 4，与 f(2) 相同才算对。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
f′(x)，f(x) = x³ − 3x + 2	3x² − 3	有没有把常数项变 0
x = 2 的切线斜率	9	有没有先求导再代入
两个驻点的座标	(1, 0) 与 (−1, 4)	有没有分辨极大与极小

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
忘记常数项求导为 0	f′(x) 写成 3x² − 3 + 2	“常数没有斜率，求导一定变 0。”
切线用了 f(x) 当斜率	m 写成 4	“斜率一定来自 f′(x)，不是 f(x)。”
找到驻点就当极值	只写 x = ±1	“要验两侧符号，IB 要求 justify 这一句。”
单位与意义不分	速度写成距离	“求导之后单位也变了，速度是米每秒。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

IB 数学章节索引　用索引内三条练习作课后核对

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
f(2) 的值	4	三题全对＝可进积分
x = 2 的切线方程	y = 9x − 14	错一题＝重讲点斜式
两个驻点与极值性质	(1, 0) 极小、(–1, 4) 极大	错两题以上＝回到第二幕

09　导师常问

IB 会不会考导数的极限定义？

Paper 1 少考定义推导，但 Paper 3 或探究题会要求解释“极限”的意思，所以第一幕仍要讲。

计算机可以求导吗？

计算机能验答案，但 IB 要求写出求导步骤，只有答案不给方法分。

微积分与函数章的关系？

函数章读图的形状，微积分章读斜率与极值，两章合用同一条多项式最省时间。

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