IB 数学 AA｜函数与图像备课指引（导师用）

IB 数学 AA｜函数与图像备课指引（导师用）｜顶点、判别式与图像变换

2026-10-28

IB 的函数题不是叫你“画图”，而是叫你“由式读出图的一切”。这一堂用一条二次函数，把配方、判别式与变换串成一条线。

本堂目标　学生能够：① 由标准式配方读出顶点；② 用判别式判断根的数量与性质；③ 由 f(x) 推出变换后的图像。

01　先备知识（开课前 3 分钟快检）

以下任何一项未过关，本堂就会卡住，先补该项：

技能	快检题	过关标准
代入	f(x) = 2x² − 3x + 1，f(2) 是多少	3
配方	x² − 6x + 5 的顶点	(3, −4)
判别式	x² + 2x + 5 有几个实根	0 个

02　课堂流程（60 分钟）

时间	环节	导师做什么	学生做什么
0–8 分	三个面貌	标准式、顶点式、因式	讲出互相转换的方向
8–24 分	配方读顶点	2x² − 3x + 1 → 顶点	算出 (0.75, −0.125)
24–36 分	判别式	b² − 4ac 与根的数量	算出 1，两个相异实根
36–48 分	图像变换	平移、伸缩、反射	由 f(x) 写出 2(x−1)² + 4
48–56 分	答题格式	IB 要写方法，不只写答案	改写一段
56–60 分	离场检查	三题收回即批	独立完成

03　讲解脚本（照着说就可以）

第一幕：配方：由 a 抽出，再补平方

2x² − 3x + 1 = 2(x² − 1.5x) + 1 = 2[(x − 0.75)² − 0.5625] + 1 = 2(x − 0.75)² − 0.125。
顶点 (0.75, −0.125)，对称轴 x = 0.75。IB 评分要看到补平方那一步，直接写答案会失方法分。

要学生讲：为什么顶点的 y 值不是 1（因为常数项被平方项抵销了一部分）。

第二幕：判别式：三个情况一次讲清

Δ = b² − 4ac = 9 − 8 = 1 > 0，所以有两个相异实根：x = (3 ± 1) / 4，即 1 与 0.5。
Δ = 0 重根（图像与 x 轴相切）、Δ < 0 无实根（不相交）。

提醒：先写 Δ 再判，不要背“大过零有两个根”而不写算式。

第三幕：变换：先后次序会影响结果

g(x) = 2(x − 1)² + 4：由 f 的图像先向右移 1、再纵向拉伸 2 倍、再上移 4。
若先拉伸再平移，横向平移量会被拉伸倍数放大，两者不同。

要学生计：g(0) 是多少（6）。

04　必教题型与步骤

题型	例子	步骤	答案
配方	2x² − 3x + 1	抽 a、补平方、读顶点	(0.75, −0.125)
判别式	b² − 4ac	9 − 8 = 1	两个相异实根 1 与 0.5
变换	2(x − 1)² + 4	平移 → 拉伸 → 上移	顶点 (1, 4)
反函数	由 y = f(x) 解 x	交换再解，注意定义域	写明 x 的范围

合理性检查（一定要教）：顶点的 y 值一定等于把对称轴代回原式；若配方后常数项与直接代入不符，就是补平方时漏了乘 a。

05　独立练习三题

题目	答案	想观察什么
f(2)，f(x) = 2x² − 3x + 1	3	有没有先乘再减
2x² − 3x + 1 的判别式	1	b² − 4ac 的符号
2x² − 3x + 1 的两个根	1 与 0.5	有没有写成 (3 ± 1) / 4

06　学生常见错误与纠正句

错误	学生通常这样写	导师这样说
配方漏乘 a	顶点写 (1.5, −1.25)	“抽出 2 之后，平方内的 1.5 要再除 2。”
判别式符号错	Δ 写成 −1	“b² 系加，4ac 才系减。”
变换次序颠倒	先拉伸后平移	“先平移再拉伸，横向距离才不会放大。”
只写答案	IB 方法分全失	“IB 要见步骤，答案对但无过程只得一半分。”

07　家课建议（直接指到练习卷题号）

IB 数学章节索引　本页三题作课后练习

08　离场检查（最后 5 分钟）

题目	答案	判定
f(2) 的值	3	三题全对＝可进三角函数
判别式的值与根的数量	1，两个相异实根	错一题＝下堂前重讲配方
2x² − 3x + 1 的两个根	1 与 0.5	错两题以上＝回到第二幕

09　导师常问

IB 与 DSE 的分别？

IB 要求方法与解释，公式手册有给，所以过程比答案重要。

一定要用计算机吗？

Paper 1 多数不能用，所以配方与判别式要手算得快。

变换会考几多分？

常见 4 至 6 分，多数要求写出每一步的次序。

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